Lause 13.1. ( Lineaarialgebran kokoomalause)

Olkoon lineaarikuvaus ja sitä vastaava -matriisi. Tällöin seuraavat ehdot ovat keskenään yhtäpitävät (ts. jos yksikin ehto pätee, silloin kaikki muutkin pätevät).

(1)   Lineaarikuvaus on bijektio.

(2)   Lineaarikuvaus on injektio.

(3)   Lineaarikuvauksen ydin on nollajoukko eli .

(4)   Lineaarikuvaus on surjektio eli .

(5)   Lineaarikuvaus on kannanvaihtokuvaus.

(6)   Matriisi on kääntyvä.

(7)   On olemassa -matriisi , jolle .

(8)   Yhtälöllä on jokaisella yksikäsitteinen ratkaisu .

(9)   Homogeenisella yhtälöllä on ratkaisuna vain .

(10)   Yhtälöllä on kaikilla jokin ratkaisu .

(11)   Matriisin sarakevektorit ovat lineaarisesti riippumattomat.

(12)   .

(13)   Luku ei ole kuvauksen (eikä matriisin  ) ominaisarvo.

Todistus. Jokainen näistä kohdista on aikaisemmin jossain muodossa todistettu yhtäpitäväksi jonkun muun kohdan kanssa. Seuraavassa ilmoitetaan vain viitteinä ne kohdat, joissa yhtäpitävyys on löydettävissä tai johon sen todentaminen perustuu.

(1)   ⇔ (2)  : Lause 6.17.

(2)   ⇔ (3)  : Lause 6.12.

(1)   ⇔ (4)  : Lause 6.17.

(1)   ⇔ (5)  : Lause 9.2.

(1)   ⇔ (6)  : Ks. Käänteismatriisi.

(6)   ⇔ (7)  : Lause 8.8.

(6)   ⇒ (8)  : Lause 8.11.

(8)   ⇒ (9)  : Selvä.

(9)   ⇒ (3)  : Selvä.

(4)   ⇔ (10)  : Selvä.

(4)   ⇒ (11)  : Lause 4.15. Huomaa, että sarakevektorit virittävät täsmälleen arvojoukon.

(11)   ⇒ (4)  : Lause 4.14. Huomaa, että sarakevektorit virittävät täsmälleen arvojoukon.

(6)   ⇔ (12)  : Lause 10.2.

(12)   ⇔ (13)  : Lause 11.3.