[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]
Lineaarikuvauksen bijektiivisyyttä ja toisaalta matriisin kääntyvyyttä on tarkasteltu eri muodoissa monin paikoin tässä kirjassa. Kokoamme tähän omaksi luvukseen tärkeimmät näitä koskevat ja yhdistävät tulokset.
Olkoon lineaarikuvaus ja sitä vastaava -matriisi. Tällöin seuraavat ehdot ovat keskenään yhtäpitävät (ts. jos yksikin ehto pätee, silloin kaikki muutkin pätevät).
(1) Lineaarikuvaus on bijektio.
(2) Lineaarikuvaus on injektio.
(3) Lineaarikuvauksen ydin on nollajoukko eli .
(4) Lineaarikuvaus on surjektio eli .
(5) Lineaarikuvaus on kannanvaihtokuvaus.
(7) On olemassa -matriisi , jolle .
(8) Yhtälöllä on jokaisella yksikäsitteinen ratkaisu .
(9) Homogeenisella yhtälöllä on ratkaisuna vain .
(10) Yhtälöllä on kaikilla jokin ratkaisu .
(11) Matriisin sarakevektorit ovat lineaarisesti riippumattomat.
(13) Luku ei ole kuvauksen (eikä matriisin ) ominaisarvo.
Todistus. Jokainen näistä kohdista on aikaisemmin jossain muodossa todistettu yhtäpitäväksi jonkun muun kohdan kanssa. Seuraavassa ilmoitetaan vain viitteinä ne kohdat, joissa yhtäpitävyys on löydettävissä tai johon sen todentaminen perustuu.
(1) ⇔ (6) : Ks. Käänteismatriisi.
(4) ⇒ (11) : Lause 4.15. Huomaa, että sarakevektorit virittävät täsmälleen arvojoukon.
(11) ⇒ (4) : Lause 4.14. Huomaa, että sarakevektorit virittävät täsmälleen arvojoukon.