Johdatteluna palautetaan mieliin erään aikaisemman esimerkin tilanne. Kannanvaihdon yhteydessä oli esimerkissä 9.5 tilanne, jossa tason lineaarikuvaukselle 
löydettiin sellaiset vektorit 
ja 
,
joille 
ja 
.
Löydettiin siis tason kanta, jonka kantavektorit kuvautuvat vain monikerroikseen. Samanlainen tilanne saatiin aikaan kolmiulotteisessa esimerkissä 9.6. Kun tällainen tilanne tiedetään, koko lineaarikuvauksen hahmottaminen ja hallinta on paljon helpompaa. Voisiko sitten tällaiseen tilanteeseen päästä aina? Ja jos, niin miten? Yritetään seuraavassa vastata tähän. Ensin muutamia nimityksiä.
jollekin luvulle 
ja jollekin vektorille 
,
sanotaan, että luku 
on lineaarikuvauksen 
ominaisarvo ja vektori 
sen
ominaisvektori. Samoja nimityksiä käytetään lineaarikuvausta vastaavalle neliömatriisille 
.
Yhtälöä 
sanotaan
ominaisarvoyhtälöksi.
Tason lineaarikuvaus 
on ilmeisestikin jonkinlainen venytys ja sille voisi sen mukaan odottaa löytyvän vektoreita, jotka kuvautuvat monikerrakseen. Tarkastellaan ominaisarvoyhtälöä ja yritetään ratkaista se:
Tämän mukaan valinnat 
ja 
sekä toisaalta 
ja 
antavat ainakin eräät ominaisarvo- ja ominaisvektoriparit (ottamatta tässä vielä kantaa siihen, löytyykö mahdollisesti muitakin pareja).
Toisaalta esimerkiksi vektorille 
on 
ja se ei siten ole enää vektorin 
suuntainen. Tämä osoittaa, että ainakaan tämä vektori 
ei kelpaa ominaisvektoriksi.
Tason lineaarikuvaus 
on vuorostaan 
kierto. Katsotaan löytyykö sille ominaisvektoreita. Nyt
Ei siis ole sellaista vektoria 
,
että olisi 
.
Tälle kuvaukselle ei siis ole olemassa ominaisarvoja eikä ominaisvektoreita.
Selvitä, mitkä seuraavista vektoreista ovat tason lineaarikuvauksen 
ominaisvektoreita: 
,
,
,
,
,
.
Myönteisessä tapauksessa ilmoita vastaava ominaisarvo.
Muodosta edellisen tehtävän lineaarikuvauksen ominaisvektoreista tason kanta. Mikä matriisi vastaa lineaarikuvausta siinä kannassa? Vastaa siihen sekä suoraan (laskematta mitään!) että tekemällä kyseinen kannanvaihto ja määräämällä sitä kautta kysytty matriisi.
Ominaisarvoyhtälössä 
esiintyvät tuntemattomina sekä ominaisarvo 
että ominaisvektori 
.
Kyseisessä yhtälöryhmässä on siten enemmän ratkaistavia muuttujia kuin yhtälöitä. Tällaisen yhtälöryhmän ratkaiseminen näyttäisi siten kovin epämääräiseltä. Seuraava tulos kuitenkin osoittaa, että mainituista tuntemattomista voidaan ensin ratkaista pelkästään ominaisarvot ilman ominaisvektoreiden laskemista. Ne voidaan laskea sitten jälkeenpäin.
Olkoon 
lineaarikuvaus ja 
sitä vastaava neliömatriisi. Tällöin luku 
on kuvauksen 
ominaisarvo, jos ja vain jos
Todistus. Muodostetaan seuraava päättelyketju (jossa 'id' tarkoittaa identtistä kuvausta):
Yllä saadussa yhtälössä lauseke 
on kehityssäännöllä auki laskettuna todettavissa erääksi muuttujan 
polynomiksi; se on yleistä muotoa
joillekin kertoimille 
,
..., 
,
.
Se on nimeltään lineaarikuvauksen 
ja sitä vastaavan matriisin 
karakteristinen
polynomi.
Siitä saatava yhtälö
on näiden
karakteristinen
yhtälö.
Tämän yhtälön juuret ovat siis täsmälleen lineaarikuvauksen 
ja matriisin 
ominaisarvot. Niitä on korkeintaan 
kappaletta, koska polynomi on 
-asteinen. (Tässä viitataan siihen tosiasiaan, että 
-asteisella reaalisella polynomilla on korkeintaan 
juurta.)
Määrätään sitten ominaisvektorit. Kun 
,
ominaisvektorit saadaan ehdosta
Ratkaistaan tämä Gaussin ja Jordanin menetelmällä:
Ominaisarvoon 
liittyvät ominaisvektorit ovat siis muotoa 
,
missä 
.
Ratkaistaan sitten ominaisarvoon 
liittyvät ominaisvektorit:
Määrää lineaarikuvauksen 
kaikki ominaisarvot ja ominaisarvoa 
vastaavat ominaisvektorit.
on 
.
on kuvauksen 
ominaisarvo 
jollekin 
jollekin 
ei ole injektio 
ei ole bijektio 
.
.
.
,
missä 
.
