Aliavaruuden ulottuvuus ja dimensiolause

Kuten luvussa 4 (pykälässä Ulottuvuus) osoitettiin avaruuksille, aliavaruuksillekin on samaan tapaan osoitettavissa, että niillä jokaisella on kantoja. Edelleen niiden jokaisessa kannassa on sama määrä vektoreita. Tätä määrää kutsutaan aliavaruuden dimensioksi.

Koska dimensio ilmoittaa lineaarisesti riippumattomien vektoreiden lukumäärän, on selvää, että aliavaruuden dimensio ei voi olla koskaan isompi kuin koko avaruuden dimensio. Edelleen pätee, että jos jonkin aliavaruuden dimensio on sama kuin koko avaruuden dimensio, se aliavaruus on itse asiassa välttämättä koko avaruus. Tämä tulos on seurausta lauseesta 4.14. Samaan tapaan nähdään, että jos kaksi aliavaruutta ovat sisäkkäisiä joukkoja, ei pienemmän aliavaruuden dimensio voi olla isompi kuin suuremman aliavaruuden dimensio. Lisäksi, jos tällaisten sisäkkäisten aliavaruuksien dimensiot ovat yhtä suuret, yhtyvät aliavaruudetkin.

Avaruudessa

aliavaruuden dimensio voi kokonaislukuna siten olla vain jokin luvuista 0, 1, 2, ...,

. Tapauksessa 0 kyseessä on ns. nolla-avaruus eli pelkän nollavektorin muodostama aliavaruus ja tapauksessa

kyseessä on koko avaruus. Muissa tapauksissa kyseessä on ns. aito aliavaruus.

Esimerkki 6.13.

Selvitetään, millaisia voivat avaruuden aliavaruudet olla. Koska koko avaruuden dimensio on kolme, voi sen aliavaruuden dimensio kokonaislukuna olla nolla, yksi, kaksi tai kolme. Lisäksi aliavaruudesta tiedetään, että se sisältää aina nollavektorin.

Jos dimensio on nolla tai kolme, kyseessä on ääritapaus, edellisessä nolla-avaruus eli pelkän nollavektorin muodostama aliavaruus ja jälkimmäisessä koko avaruus. Jos sitten aliavaruuden dimensio on yksi, se on yhden vektorin virittämä ja on siten joukkona jokin origon kautta kulkeva suora. Dimension ollessa kaksi aliavaruus on taas kahden lineaarisesti riippumattoman vektorin virittämä ja on silloin jokin origon kautta kulkeva taso. Aidot aliavaruudet ovat siten origon kautta kulkevat suorat ja tasot.

Lineaarikuvauksen kuvajoukko ja ydin ovat molemmat aliavaruuksia eli joittenkin vektoreiden virittämiä, edellinen avaruudessa ja jälkimmäinen avaruudessa . Ydin on määrittelynsä yhteydessä (pykälässä Ydin ja injektiivisyys) todettu aliavaruudeksi ja kuvajoukon osalta tämä jätetään harjoitustehtäväksi (tehtävä 7).

Kun käytetään lyhennettä dim merkitsemään aliavaruuden suurinta lineaarisesti riippumattomien vektoreiden lukumäärää eli kyseisen aliavaruuden dimensiota, saadaan seuraava tärkeä tulos, ns. dimensiolause.

Lause 6.14. (Dimensiolause)

Lineaarikuvaukselle pätee aina, että

ts. ytimessä ja kuvajoukossa on yhteensä yhtä monta riippumatonta vektoria kuin koko lähtöavaruudessa on.

Todistus. Olkoon kuvauksen ydin vektoreiden virittämä,

missä vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia. Luku on silloin ytimen dimensio. Lisätään näihin vektoreihin jotkut vektorit , ..., niin, että ne kaikki yhdessä muodostavat avaruuden kannan. Lauseen 4.11 mukaan tämä on mahdollista.

Mielivaltaiselle avaruuden vektorille on nyt

joten kuvajoukko virittyy jo vektoreilla , ..., .

Osoitetaan, että nämä vektorit ovat lisäksi lineaarisesti riippumattomat. Jos

lineaarisuuden perusteella on eli vektori on ytimen vektori. Koska ydin taas on vektorien virittämä, on

joillekin luvuille , ..., . Vektorien lineaarisen riippumattomuuden perusteella on kuitenkin oltava kaikkien kertoimien nollia. Erikoisesti silloin , mikä osoittaakin vektoreiden , ..., lineaarisen riippumattomuuden.

On siten todettu, että jos ytimen dimensio on , kuvajoukon dimensio on . Yhteenlaskettuna ne antavat avaruuden dimension , kuten väitettiin.

Dimensiolauseen mukaan on voimassa yhtälö , missä ja . Kuvajoukko on avaruuden aliavaruus, joten lisäksi on voimassa ehto .

Esimerkki 6.15.

Kuvaus , on lineaarinen (totea!). Määrätään sen ydin. Nyt

joten

Ydin on näin ollen yhden vektorin virittämä ja siten sen dimensio on 1. Tässä esimerkissä on siis ja . Kuva-avaruuden dimensio on näin ollen . Koska se on sama kuin koko maaliavaruuden dimensio, kuvajoukko on koko avaruus eli kuvaus on surjektio. Esimerkiksi vektorit ja virittävät todella avaruuden .

Seuraus 6.16.

Olkoon lineaarikuvaus.

(a) Jos , ei voi olla injektio.

(b) Jos , ei voi olla surjektio.

Todistus. Olkoon , jolloin dimensiolauseen mukaan , missä . Lisäksi .

(a) Kun , on . Siten ja lauseen 6.12 mukaan ei ole injektio.

(b) Kun , on , joten eli ei ole surjektio.

Edellisen tuloksen mukaan lineaarikuvaus voi olla bijektio vain, jos se on samaulotteisten avaruuksien välinen kuvaus (eli ). Jos sitten lineaarikuvaus toimii saman avaruuden sisällä, bijektiivisyyden osoittamiseksi ei tarvitsekaan käydä läpi surjektiivisuutta tai vaihtoehtoisesti injektiivisyyttä. Tämäkin on olennaisesti dimensiolauseen ansiota.

Lause 6.17.

Lineaarikuvaus on bijektio, jos se on injektio tai jos se on surjektio.

Todistus. Jos on injektio, on ja siis . Dimensiolauseen mukaan on siten , joten kuvajoukon on oltava koko avaruus eli kuvauksen on oltava surjektionkin.

Jos taas on surjektio, on , jolloin dimensiolauseen mukaan eli . Kuvaus on siten injektiokin.

Todetaan seuraavassa, että lineaarisen bijektion käänteiskuvaus on myös bijektio. Tulos on tässä vaiheessa kuitenkin vielä siinä mielessä teoreettinen, että se eikä sen todistus ei anna hyvää keinoa käänteiskuvauksen määräämiseen. Sen konkreettiseen laskemiseen palataan käänteismatriisien yhteydessä (pykälissä Käänteismatriisi ja Käänteismatriisin laskeminen Gaussin ja Jordanin menetelmällä).

Lause 6.18.

Lineaarisen bijektion käänteiskuvaus on myös lineaarinen.

Todistus. Huomaa, että dimensiolauseen nojalla lähtö- ja maaliavaruuksien on oltava bijektiolle samaulotteiset. Olkoot ja avaruuden vektoreita. Surjektiivisuuden perusteella ja joillekin vektoreille ja . Silloin ja . Lineaarisuuden perusteella taas . Siten

Jos sitten , on , ja siten

Kuvaus on siten lineaarinen.

Esimerkki 6.19.

Kuvaus , , on lineaarinen (totea se!). Lisäksi se on injektio (totea myös se!) ja sellaisena bijektio. Todetaan lisäksi laskemalla että sen käänteiskuvauksen lauseke on