saadaan nimittäin, että 
,
ja kääntäen. Toisin sanoen vektoreiden 
ja 
vertaaminen on yhtäpitävää vektorin 
nollavektoriin vertaamisen kanssa. Yhtälön 
sijasta riittääkin siten tarkastella yhtälöä 
.
Lineaarikuvauksen injektiivisyyden tutkiminen voidaan siirtää origoon: ehdosta saadaan nimittäin, että ,
ja kääntäen. Toisin sanoen vektoreiden ja vertaaminen on yhtäpitävää vektorin nollavektoriin vertaamisen kanssa. Yhtälön sijasta riittääkin siten tarkastella yhtälöä .
Määritellään, että lineaarikuvauksen 
ydin on joukko
Kuvauksen 
lineaarisuuden perusteella ytimen vektoreiden summat ja monikerrat ovat edelleen sen vektoreita, sillä jos 
ja 
,
niin myös
Lineaarikuvauksen ydin on siis aina joidenkin vektorien virittämä aliavaruus. Seuraava tulos on jo oikeastaan edellä perusteltu, mutta todistetaan se vielä uudestaan.
Lineaarikuvaus 
on injektio, jos ja vain jos 
.
Todistus.
Jos 
on injektio ja vektori 
on ytimessä, on 
,
joten injektiivisyyden perusteella 
.
Jos taas ytimessä on vain nollavektori, ehdosta 
ja siitä, että
saadaan, että vektorin 
on oltava ytimen ainoa vektori, nollavektori, ts. saadaan, että 
.
Kuvaus 
on siten injektio.
Opiskelutehtävän 20 perusteella tiedetään, että kuvaus 
,
.
ja
.
,
