Käänteismatriisi

Sellaista matriisia, jossa on yhtä monta riviä kuin sarakettakin, sanotaan neliömatriisiksi. Tyyppiä

oleva matriisi on siis neliömatriisi täsmälleen silloin, kun

. Seuraavassa on eräitä yleisesti käytettyjä nimityksiä neliömatriiseille

· Neliömatriisin

halkaisijalla olevat luvut

, ...,

muodostavat sen lävistäjän eli diagonaalin.

· Neliömatriisi on lävistäjämatriisi eli diagonaalimatriisi, jos lävistäjän ulkopuoliset luvut ovat nollia eli jos

aina kun

· Yksikkömatriisi

on sellainen diagonaalimatriisi, jonka kaikki diagonaalialkiot ovat ykkösiä. Ts. matriisi

on yksikkömatriisi, jos

, aina kun

, ja jos

kaikilla

. Yksikkömatriisia sanotaan myös ykkösmatriisiksi tai identtiseksi matriisiksi. Edellinen nimitys johtuu siitä, että se toimii matriisien kertolaskussa kuten luvuilla luku 1 (ks. lause 8.6), ja jälkimmäinen siitä, että se vastaa identtistä kuvausta.

· Kolmiomatriisi

on sellainen neliömatriisi, jonka kaikki diagonaalin ala- tai yläpuoliset alkiot ovat nollia, ts.

, aina kun

, jolloin kyseessä on tarkemmin sanottuna yläkolmiomatriisi, tai aina kun

, jolloin kyseessä on alakolmiomatriisi.

Aikaisemmin lauseessa 6.18 on osoitettu, että lineaarisen bijektion käänteiskuvaus on myös bijektio. Selvitetään seuraavassa näiden kuvausten matriisivastaavuuksia.

Olkoon

lineaarinen bijektio, jolloin siis sen käänteiskuvaus

on myös lineaarinen. Kun sitten

ovat näitä vastaavia matriiseja, ehdoista

Tällainen matriisi

, joka toteuttaa viimeksi mainitut ehdot, on nimeltään matriisin

käänteismatriisi, merkitään

. Tällöin sanotaan myös, että matriisi

(ja siten myös

) on kääntyvä (eli säännöllinen). Edellä annettu mielikuva vain yhden käänteismatriisin olemassaolosta on itse asiassa oikea, sillä jos myös matriisi

on matriisin

käänteismatriisi, saadaan ehdoista

, että

Toisaalta sama seuraa myös siitä, että neliömatriisi on kääntyvä täsmälleen silloin, kun sitä vastaava lineaarikuvaus on bijektio, ja bijektion käänteiskuvaus taas on yksikäsitteinen kuvaus.

Lause 8.7.

Jos lineaarikuvaus on bijektio ja sitä vastaa neliömatriisi , on kääntyvä matriisi ja käänteiskuvausta vastaa käänteismatriisi .

Määrittelyn mukaan käänteismatriisin pitää antaa sekä vasemmalta että oikealta kerrottuna tuloksi yksikkömatriisin. Oleellisesti dimensiolauseesta saadaan kuitenkin seuraava 'työnpuolituslause'.

Lause 8.8.

Jos samankokoisille neliömatriiseille ja on , on myös , ts. sekä että ovat kääntyviä ja toistensa käänteismatriiseja.

Todistus. Olkoot ja kokoa olevia neliömatriiseja, joille . Olkoot edelleen ja sellaisia lineaarikuvauksia, että ja . Ehdosta seuraa, että yhdistetty kuvaus on identtinen kuvaus. Tällöin 'alla' oleva kuvaus on välttämättä injektio (muutoin ei yhdistetty kuvauskaan voisi olla injektio) ja toisaalta 'päällä' oleva kuvaus on surjektio (muutoin ei yhdistetty kuvauskaan voisi olla surjektio). Lauseen 6.17 perusteella kummatkin lineaarikuvaukset ovat siten bijektioita ja niillä molemmilla on edelleen käänteiskuvaukset.

Osoitetaan seuraavaksi, että myös on identtinen kuvaus. Käyttäen sitä, että ja ovat identtisiä kuvauksia, voidaankin avaruuden vektoreille laskea seuraavasti:

Siten on todella identtinen kuvaus. Kuvauksia vastaaviin matriiseihin siirtymällä tästä tuloksesta seuraakin heti väitetty yhtälö . (Selvennöksenä todettakoon, että apuna käytetyt kuvaukset ja ovat näin itse asiassa osoittautuneet toistensa käänteiskuvauksiksi, ts. ja . )

Esimerkki 8.9.

Selvitetään, onko matriisilla

olemassa käänteismatriisia. Ensinnäkin on neliömatriisi, joten sillä voi tyyppinsä puolesta olla käänteismatriisi. Jos sellainen on, se on samankokoinen kuin . Etsitään siis sellaista -matriisia , että . Ratkaistaan tämä matriisiyhtälö:

Käänteismatriisi on siis olemassa ja

Hyvä tarkistuskeino on todeta, että myös pätee.

Pienikokoisen matriisin käänteismatriisin ratkaiseminen on mahdollista tehdä edellä kuvatulla tavalla, jossa käänteismatriisin alkiot merkitään tuntemattomiksi muuttujiksi ja yhtälön määräämät yhtälöryhmistä ratkaistaan kyseiset muuttujat. Gaussin ja Jordanin menetelmällä käänteismatriisin laskeminen onnistuu systemaattisemmin (ks. Käänteismatriisin laskeminen Gaussin ja Jordanin menetelmällä).

Seuraavassa on eräitä käänteismatriisin muodostamiseen liittyviä sääntöjä.

Lause 8.10.

Jos ja ovat samankokoisia kääntyviä neliömatriiseja ja luku , on

(a) ,

(b) ja

Todistus. Yleisesti matriisi todistetaan helpoimmin matriisin käänteismatriisiksi osoittamalla, että tai (toinen näistä riittää lauseen 8.8 mukaan). Todistetaan väitteet tämän periaatteen mukaisesti.

(a) Koska , on matriisin käänteismatriisi .

(b) Väite seuraa siitä, että

Lineaarisen yhtälön ratkaisujen muoto on todettu lauseessa 6.20. Matriiseille tulkittuna se ilmoittaa, että matriisiyhtälön ratkaisut (silloin kun niitä on) ovat muotoa , missä ensinnäkin on jokin ko. yhtälön yksityisratkaisu, so. , ja toiseksi eli on (ns. homogeenisen) yhtälön ratkaisu. Kääntyville matriiseille tämä tulos saadaan seuraavaan muotoon.