Lause 10.2.

Neliömatriisi on kääntyvä, jos ja vain jos .

Todistus. Esitetään tässä vain geometriseen havaintoon perustuva päättely ohittaen tarkan matemaattisen muotoilun. Algebrallisempi perustelu löytyy esimerkiksi Kahanpään ja Hannukaisen luentomonisteesta (pykälä 2.5).

Luvun 7 perusteella tiedetään, että neliömatriisi on kääntyvä, jos ja vain jos sitä vastaava lineaarikuvaus on bijektio, mihin toisaalta lauseen 6.17 mukaan riittää sen surjektiivisuus. Tämä on taas yhtäpitävää sen kanssa, että matriisin sarakevektorit virittävät koko avaruuden , ja se edelleen sen kanssa, että nämä vektorit eivät viritä surkastunutta suuntaissärmiötä eli särmiötä, jonka tilavuus on nolla. Suuntaissärmiön tilavuus taas on sen virittävien vektoreiden determinantin itseisarvo. Kaikki mainitut yhtäpitävyyspäättelyt yhdistämällä saadaan väite.

 

Yllä olevan mukaan yleinen -matriisi

 

on kääntyvä täsmälleen silloin, kun

.

Tällä ehdolla sen käänteismatriisi on

,

mikä on helppo tarkistaa laskemalla. Tämän säännön mukaisesti -matriisin käänteismatriisi on siten helppo muodostaa. Mitään yhtä yksinkertaista sääntöä ei valitettavasti ole olemassa isompikokoisille matriiseille.

Seuraavissa lauseissa on eräitä determinanttia koskevia laskusääntöjä.

Lause 10.3.

Nollamatriisin determinantti on nolla ja yksikkömatriisin yksi. Yleisemmin diagonaalimatriisin determinantti on lävistäjäalkioiden tulo.

Todistus. Ensinnäkin -diagonaalimatriisin determinantti on yksinkertaisesti lävistäjäalkioiden tulo. Kehittämissäännöstä nähdään toisaalta heti, että isompaa kokoa olevan matriisin determinantti on sen paikassa (1,1) olevan alkion ja sen suhteen muodostetun alideterminantin tulo (sillä kehittämissäännössä muut summattavat ovat nollia). Tämän perusteella se ominaisuus, että diagonaalimatriisin determinantti on lävistäjäalkioiden tulo, periytyy -diagonaalimatriiseilta kaiken kokoisille diagonaalimatriiseille.

Nollamatriisin ja yksikkömatriisin determinantit saadaan tästä erikoistapauksena.

 

Lause 10.4.

Tyyppiä oleville neliömatriiseille ja pätevät seuraavat:

(1)   kaikille ,

(2)   ,

(3)   ,

(4)   jos matriisi on kääntyvä, on

,

(5)   jos matriisi on kääntyvä ja , on .

Todistus. (1) Väite seuraa siitä, että matriisin determinanttia laskettaessa luku voidaan determinantin kehityssääntöä toistuvasti käytettäessä ottaa joka kerta tekijäksi. Viimeisessä vaiheessa, -alideterminantteja laskettaessa, luku voidaan ottaa kahdesti tekijäksi ja jäljelle jäävät matriisiin liittyvät alideterminantit. Yhteensä luku voidaan ottaa tekijäksi täsmälleen kertaa.

(2) - (3) Näiden kahden kohdan väitteet voidaan periaatteessa todistaa suoralla laskulla, mutta se lienee ylivoimaisen pitkä tapa. Todistusta voidaan lyhentää oleellisesti ottamalla käyttöön sopivia työkaluja (alternoivien multilineaarikuvausten teoriasta). Ohitetaan todistukset kuitenkin tässä ja viitataan näiden osalta Kahanpään ja Hannukaisen luentomonisteeseen (pykälä 2.4).

(4) Koska , on . Siten edellisen kohdan perusteella on , mistä saadaan väite.

(5) Kahden edellisen kohdan perusteella on

.

 

Edellä olevan lauseen viimeisen kohdan eli kohdan (5) perusteella lineaarikuvausta ennen kannanvaihtoa ja sen jälkeen vastaavien matriisien (ks. lause 9.4) determinantit ovat aina samat. Voidaan siis sopia, että lineaarikuvauksen determinantti on minkä tahansa sitä vastaavan matriisin determinantti. Geometrisesti tämän determinantin itseisarvo ilmoittaa, missä suhteessa suunnikkaiden pinta-alat (kun  ) tai suuntaissärmiöiden tilavuudet (kun  ) tai yleistettyjen suuntaissärmiöiden mitat (kun  ) muuttuvat kuvauksessa.

Opiskelutehtävä 39

(a)  Varmenna lauseen 10.4 kohdan (2) toimivuus matriisille

.

(b)  Varmenna lauseen 10.4 kohdan (3) toimivuus matriiseille

 

ja

.

(c)  Varmenna lauseen 10.4 kohdan (4) toimivuus (a)-kohdan matriisille . (Huomaa, että on laskettu esimerkissä 8.13)

Vinkki tehtävään 39