Kannanvaihto

Esimerkki 9.1.

Tiedetään, että tason vektorit ja kelpaavat sen kannaksi. Miten saadaan laskettua jonkin vektorin koordinaatit tässä kannassa?

Olkoon vastauksen löytämistä varten se tason lineaarikuvaus (ns. kannanvaihto), jolle ja . Sitä vastaava matriisi on

ja sen yleinen lauseke on muotoa

Lasketaan seuraavaksi käänteismatriisi (kuvauksen kääntyvyys on nimittäin ilmeistä). Kaaviomuunnoksesta

nähdään, että

ja siten käänteiskuvauksen lauseke on

Jos nyt merkitään, että

ts. jos ja ovat vektorin koordinaatit kannassa , on

eli matriisimerkinnöin

Muuttujat toisinpäin ratkaistuna tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että

Esimerkiksi konkreettiselle vektorille saadaan tämän mukaan, että

joten

ts. vektorin koordinaatit kannassa ovat 5/2 ja 3/2.

Yleistetään seuraavaksi tilanne avaruuteen . Tulos on nyt seuraavanlainen. Sen todistus menee kuten edellä, vektorit vain ovat nyt monikomponenttisia ja matriisit isompia kooltaan.

Lause 9.2.

Olkoon avaruuden luonnollinen kanta (tai yleisemmin jokin entinen kanta) ja sen jokin toinen kanta (uusi kanta). Olkoon edelleen se yksikäsitteisesti määrätty lineaarikuvaus, joka kuvaa kunkin kantavektorin vastaavaksi kantavektoriksi , eli on ns. kannanvaihtokuvaus, jolloin sitä vastaa luonnollisessa kannassa matriisi

sarakkeinaan vektorit (tai tarkemmin niiden koordinaatit kannassa ). Tällöin avaruuden vektorin koordinaatit , , ..., kannassa saadaan kaavasta

eli

Huomaa, että kannanvaihtokuvaus on aina bijektiivinen kuvaus ja että toisaalta jokainen lineaarinen bijektio määrää jonkin kannanvaihdon. Kannanvaihtokuvausta ja lineaarista bijektiota yleensä sanotaan myös (lineaariseksi) isomorfismiksi. Tätä nimitystä käytetään yleisemminkin kaikista (eri aliavaruuksienkin välisistä) lineaarisista bijektioista.

Esimerkki 9.3.

Olkoon alkuesimerkissä 9.1 erityisesti . Mikä vektori on eli mitkä ovat sen koordinaatit luonnollisessa kannassa? Koska sen koordinaatit kannassa ovat ja , saadaan, että

Vektorin koordinaatit luonnollisessa kannassa ovat siten ja . Toisaalta tietenkin suoraan voidaan laskea, että .

Tarkistuksen vuoksi voidaan myös laskea, että (käänteismatriisi on laskettu esimerkissä 9.1)

Tämä osoittaa taas, että vektorin koordinaatit kannassa ovat ja , kuten annettiinkin.

Opiskelutehtävä 36

Lausu tason vektorit ja kannassa , missä ja . Tee se sekä graafisesti päätellen että laskien. Mieti jälkimmäisessä, miten voit hyödyntää kannanvaihtokuvausta luonnollisesta kannasta -kantaan.

Vinkki tehtävään 36

Olkoon sitten edelleen kannanvaihto ja . Tarkastellaan nyt tämän lisäksi lineaarikuvausta , jota luonnollisessa kannassa vastatkoon matriisi . Mikä on silloin kuvausta vastaava matriisi kannassa ? (Se ei ole tietenkään !)

Merkitään ensin, että eli matriisimerkinnöin . Tämän vektorin koordinaatit kannassa saadaan yllä olevan mukaisesti kaavasta

Mutta tämä ei ole mikään muu kuin matriisin ensimmäinen sarake. Aivan vastaavasti voidaan yleisemmin nähdä, että vektorien koordinaatit kannassa saadaan kaavasta

Siten koko lineaarikuvausta vastaa kannassa matriisi

On siis saatu perusteltua seuraava tulos.

Esimerkki 9.5.

Olkoon esimerkin 9.1 kannanvaihdon ja sitä vastaavan matriisin lisäksi annettu lineaarikuvaus , , jolloin

Vektoreiden ja muodostamassa kannassa kuvausta vastaa silloin matriisi

Tämän mukaan on siis ja . Siten on sattumalta löydetty kaksi suuntaa, joissa kuvaus vain venyttää vektoreita (vaihtaen tosin lisäksi toisessa tapauksessa suunnan päinvastaiseksi). Myöhemmin ominaisarvoprobleeman yhteydessä (luvussa 11) pyritään selvittämään, miten tällaiseen erikoistilanteeseen voisi yleisemminkin päästä.