Gaussin ja Jordanin algoritmia (ks. luku 3) voidaan käyttää myös käänteismatriisin laskemiseen. Menettelyn esittämistä varten olkoon 
kokoa 
oleva neliömatriisi, jolle käänteismatriisia pyritään etsimään. Merkitään sitä varten muodostetussa yhtälössä 
matriisin 
sarakkeita vektoreilla 
,
,
..., 
.
Yksikkömatriisin 
sarakkeet muodostuvat taas kantavektoreista 
,
,
..., 
.
Kun matriisilla 
kerrotaan matriisin 
jokin sarake, tulokseksi saadaan tulon 
vastaava sarake. Siten matriisiyhtälön 
ratkaiseminen on yhtäpitävää vektoriyhtälöiden 
,
,
..., 
ratkaisemisen kanssa.
Matriisiyhtälön 
ratkaiseminen voidaan näin ollen tehdä sarakkeittain ja tehtävä voidaan siten periaatteessa paloitella 
yhtälön ratkaisemiseen. Algoritmisesti nämä yhtälöt voidaan kuitenkin ratkaista yhtäaikaisesti. Jokaisen yhtälön ratkaisemisessahan kerroinmatriisi on aina sama ja siten sen muokkaaminen yksinkertaisempaan muotoon voidaan ajatella tehtävän joka kerta samalla tavalla. Kokonaisuudessaan ideana onkin nyt siis pyrkiä kaaviosta 
muotoa 
olevaan kaavioon, josta silloin käänteismatriisi 
voitaisiin lukea.
Etsitään käänteismatriisia matriisille
Muodostetaan kaavio 
ja muokataan sitä samoilla säännöillä kuin aikaisemminkin. Se saadaan silloin muotoon
Vastaan tuli epätosi yhtälö 
(ja myös 
), joten päätelmänä on, että matriisilla 
ei ole käänteismatriisia. Se ei siis ole kääntyvä matriisi.
Määrätään käänteismatriisi matriisille
ja muokataan sitä Gaussin ja Jordanin menetelmän sallimin keinoin ajatellen vain, että oikealla puolella on nyt kolmen eri yhtälöryhmän vakiotermit ja niitä muokataan yhtäaikaisesti. Vähennetään ensimmäinen rivi aluksi kahdella kerrottuna toisesta rivistä ja lisätään se sitten samalla kolmanteen riviin. Silloin saadaan kaavio
Nollaamalla toisen rivin avulla toisen sarakkeen alkiot ylä- ja alapuolelta (sekä muuttamalla toisen rivin lukujen merkit) saadaan kaavio
Kolmannen rivin avulla nollataan lopuksi kolmannen sarakkeen alkioita ja saadaan kaavio
Saatiin aikaan kaavio, jossa vasemmalla puolella on yksikkömatriisi. Tämä osoittaa, että lähtömatriisi 
on kääntyvä matriisi. Lisäksi sen käänteismatriisi voidaan nyt lukea kaavion oikealta puolelta. Tuloksena on siten, että
Tuloksen voi tarkistaa kertomalla matriisit 
ja 
keskenään - kumminpäin tahansa. Tulon on tietenkin oltava yksikkömatriisi kummassakin tapauksessa.
Totea, että lauseen 8.10 kohta (c) pätee opiskelutehtävän 31 matriiseille 
ja 
,
siis että 
.
.
.
.
.
.
.
.
,
ja 
.