Kehityssääntö

Aloitetaan taas tasosta ja pyritään ensin vastaamaan seuraavaan kysymykseen. Jos on annettu kaksi vektoria, ja , mikä on niiden määräämän suunnikkaan ala?

Geometrisesta tarkastelusta nähdään, että kysytty ala saadaan tulona , missä on vektorin projektio vektorille eli

missä vektorin kerrointa on merkitty lyhyesti luvulla . Siten ja

.

Siten kysytty ala saadaan osoittajan neliöjuuresta eli lausekkeesta .

Itseisarvon sisälle saatua lukua sanotaan vektoreiden ja determinantiksi, merkitään . Tarkastellun suunnikkaan ala on siis sen määräävien vektorien determinantin itseisarvo. Erikoisesti tästä näkyy, että kyseiset vektorit ovat lineaarisesti riippumattomat täsmälleen silloin, kun niiden määräämän suunnikkaan ala ei ole nolla eli kun niiden determinantti ei ole nolla. Tämä antaa siten uuden kriteerin riippumattomuudelle.

Yleisemmin asetetaankin, että -matriisin

determinantti on luku

.

Huomaa, että viimeisimmässä merkinnässä pystyviivat eivät merkitse itseisarvoja. Determinantti voi siis olla yhtä hyvin negatiivinen kuin positiivinenkin luku.

Isompien -matriisien determinantti määritellään sitten kehityssäännöllä seuraavaan tapaan.

Kun , asetetaan, että

Jos merkitään, että on se -determinantti, joka saadaan matriisista , kun siitä poistetaan rivi ja sarake , yllä oleva kaava saadaan silloin helpommin muistettavaan muotoon

.

Huomioi erityisesti kaavassa oleva miinusmerkki.

Laskemalla voidaan osoittaa, että avaruuden kolmelle vektorille , ja niiden määräämän suuntaissärmiön tilavuus on sen determinantin itseisarvo, joka saadaan sijoittamalla kyseiset vektorit sen sarakkeiksi:

.

Tapauksessa toimitaan yllä olevaa periaatetta jatkaen. Määritellään sen mukaisesti, että -matriisin determinantti on luku

,

missä -determinantit saadaan alkuperäisestä determinantista poistamalla rivi ja sarake .

Yleisesti -matriisin (missä   ) determinantti määritellään kehityssäännöllä (tai palautussäännöllä)

,

missä -determinantit saadaan alkuperäisestä determinantista poistamalla rivi ja sarake . Näitä determinantteja sanotaan myös koko determinantin alideterminanteiksi.

Yllä annettua determinantin laskutapaa sanotaan tarkemmin sen kehittämiseksi ensimmäisen rivin suhteen. Sama tulos saadaan kyllä aikaan, jos se kehitetään vastaavalla tavalla minkä tahansa rivin suhteen - tai jopa myös sarakkeen suhteen. Esimerkiksi determinantti voidaan kehittää rivin suhteen seuraavasti:

Vastaavasti sarakkeen suhteen kehitettynä on

Näiden tulosten todistamiset vaativat kuitenkin laajahkoja tarkasteluja ja ne sivuutetaan sen takia tässä kirjassa. Yllä mainittuja eri rivien ja sarakkeitten mukaan tapahtuvia determinantin kehittämisiä voidaan hyödyntää silloin, jos kehittämiseen voidaan käyttää sellaista riviä tai saraketta, jossa on paljon nollia. Determinantin kehittäminen ensimmäisen rivin suhteen on kuitenkin riittävä keino.

Luvuille determinantin itseisarvo ilmoittaa sellaisen yleistetyn -ulotteisen suuntaissärmiön mitan (yleistetyn tilavuuden), jonka determinantin sarakkeista muodostetut vektorit määräävät. Erityisesti determinantti on sen mukaan nolla täsmälleen silloin, kun sen sarakevektorit ovat lineaarisesti riippuvat. Näiden tulosten täsmälliset matemaattiset todistukset jätetään kuitenkin niiden laajuuden vuoksi tässä kirjassa käsittelemättä.

Kehityssäännöllä isokokoisen determinantin laskeminen palautetaan siis aina yksi ulottuvuus kerrallaan pienempikokoisten determinanttien laskemiseen, kunnes päästään lopulta kaksiulotteisiin determinantteihin. Pahimmillaan -kokoisen determinantin laskemiseen tarvitaan siten kappaletta -determinantteja. Menettely on sen takia käytännössä työläs ja tietokoneen suorittamanakin isoille matriiseille aivan liian paljon aikaa vievä. Nopeampi laskutapa saadaan mm. käyttämällä Gaussin ja Jordanin menetelmää hyväksi. Siihen palataan vielä tämän luvun loppupuolella (ks. Determinantin laskeminen Gaussin ja Jordanin menetelmällä).