Kanta

Esimerkki 4.9.

Tason vektorit ja ovat selvästi lineaarisesti riippumattomat (sillä kumpikaan ei ole toisen monikerta) ja toisaalta jokaisella vektorilla on jokin esitys kuten tämän luvun alussa todettiin. Siten ne muodostavat erään tason kannan luonnollisen kannan lisäksi. Ainakin tasossa on siten muitakin kantoja. (Tilannetta kuvaa alla oleva kuva.)

Opiskelutehtävä 9

(a)  Perustele mahdollisimman lyhyesti, miksi vektorit ja kelpaavat tason kannaksi.

(b)  Valitse jokin vektori ja esitä se kannassa . Tee se sekä piirtämällä että laskemalla!

Vinkki tehtävään 9

Edellä todistetulla lauseella 4.8 on monta hyödyllistä seurausta, joista tärkein ilmenee lauseessa 4.13.

Lause 4.10.

Jos vektorit , , ..., ovat lineaarisesti riippumattomat ja jos vektori ei ole näiden virittämä, ovat myös vektorit , , ..., , lineaarisesti riippumattomat.

Todistus. Olkoon

.

Jos tässä , niin voidaan ratkaista

.

Tällöin vektori olisi vektorien , , ..., lineaarikombinaatio vastoin oletusta. Siispä , jolloin . Vektorien , , ..., lineaarisen riippumattomuuden perusteella on tällöin myös . Siten kaikki kertoimet ovat nollia. Väite on osoitettu.

Lause 4.11.

Jokainen avaruuden lineaarisesti riippumaton vektorijoukko voidaan täydentää sen kannaksi (tarkoittaen, että joko se on jo kanta tai sitten se voidaan muita vektoreita lisäämällä laajentaa kannaksi).

Todistus. Oletetaan, että annettu vektorijoukko ei vielä viritä koko avaruutta (muutoinhan lauseen väite pitää ilman muuta paikkansa). Valitaan luonnolliset kantavektorit , , ..., avaruuden virittäväksi vektorijoukoksi. Lauseen 4.8 mukaan on tällöin .

Nyt jokin vektoreista , , ..., ei virity vektoreilla , , ..., ts. se ei ole näiden lineaarikombinaatio. Lauseen 4.10 mukaan se voidaan tällöin lisätä vektorien , , ..., joukkoon näistä lineaarisesti riippumattomana vektorina. Tämän joukon laajentamista luonnollisen kannan vektoreilla jatketaan, kunnes vastaan tulee lineaarisesti riippumaton vektorijoukko, joka virittää koko avaruuden. Koska lauseen 4.8 mukaan lineaarisesti riippumattomassa vektorijoukossa voi olla korkeintaan vektoria, tällainen joukko tulee todella jossain vaiheessa vastaan. Se on silloin lauseessa etsitty kanta.

Seuraus 4.12.

(a)  Jokainen avaruuden vektorijoukko , missä , on lineaarisesti riippuva.

(b)   Mikään avaruuden vektorijoukko , missä , ei voi virittää sitä.

Todistus. Koska luonnolliset kantavektorit , , ..., ovat lineaarisesti riippumattomat ja virittävät koko avaruuden, lauseen 4.8 mukaan toisaalta missä tahansa lineaarisesti riippumattomassa joukossa on korkeintaan vektoria ja toisaalta missä tahansa virittäjäjoukossa on vähintään vektoria. Tämä todistaa molemmat väitteet.