5.2.  Pienin ja suurin arvo suljetulla välillä

Suljetulla välillä jatkuva funktio saa Weierstrassin lauseen mukaan suurimman ja pienimmän arvonsa. Kohdat, joissa funktio ne saa, ovat aina myös paikallisia ääriarvokohtia. Paikallinen ääriarvokohta voi taas olla välin päätepiste, epäjatkuvuuspiste, epäderivoituvuuspiste tai derivaatan nollakohta. Selvittämällä funktion arvot tällaisissa pisteissä löydetään niistä suurin ja pienin arvo.

Esimerkki 5.2.1.

Selvitetään funktion suurin ja pienin arvo suljetulla välillä . Funktio on jatkuva kahden jatkuvan funktion tulona, joten globaalit ääriarvot ovat olemassa. Lisäksi funktio on derivoituva ainakin, kun . Ääriarvojen selvittämistä varten ei tarvitse kuitenkaan selvittää derivoituvuutta pisteessä . Riittää, että tämä piste huomioidaan eräänä ehdokkaana ääriarvokohdaksi. Muut ehdokkaat ovat välin päätepisteet ja derivaatan nollakohdat.

Derivaatan nollakohtiin ei funktion lausekkeessa oleva itseisarvo vaikuta, joten voimme selvittää funktion

derivaatan nollakohdat. Tämä funktio on sama kuin esimerkin 5.1.8 funktio , joten kyseiset derivaatan nollakohdat ovat tai . Näistä edellinen ei kuulu tarkasteltavaan väliin, joten se on jätettävä huomiotta.

On saatu neljä ehdokasta ääriarvokohdaksi. Lasketaan funktion arvot niissä kohdissa: , , ja . Näistä suurin 25 on funktion suurin arvo ja pienin 0 on funktion pienin arvo välillä . Katso kuva 46.

Kuva 46. Esimerkin 5.2.1 kuva

Havainnollistus: Derivaatta ja ääriarvot

Opiskeluvideo: K2: Funktion pienimmän ja suurimman arvon selvittäminen

Ääriarvoja joudutaan usein selvittämään sellaisissa soveltavissa tehtävissä, joissa pyritään minimoimaan tai maksimoimaan esimerkiksi erilaisia kustannuksia.

Esimerkki 5.2.2.

Joen rannalla olevasta sähkövoimalasta halutaan vetää sähkökaapeli joen vastakkaisella puolella olevaan tehtaaseen. Joen leveys on yksi kilometri ja tehdas sijaitsee joen alajuoksulla kahden kilometrin päässä. Kaapelointikustannukset veteen laskettuna ovat kaksinkertaiset maahan kaivamiseen verrattuna. Miten kauas alajuoksulle päin kaapeli kannattaa vetää joen yli, jotta kokonaiskustannukset olisivat pienimmät mahdolliset?

Merkitään, että maahan kaivamisen kustannus on yksi yksikkö kilometriä kohden ja joen yli kaapelointi vedetään kuvan 47 mukaisesti sähkövoimalan S vastarannalta voimalan kohtisuorasta paikasta kilometriä tehtaaseen T päin.

Kuva 47. Esimerkin 5.2.2 kuva

Silloin kaapeloinnin kustannusfunktio on seuraava:

. 

Tämä funktio on tehtävän luonteesta johtuen järkevää määritellä nyt vain välillä . Määrätään sen pienin arvo. Funktio on jatkuva ja derivoituva, joten kyseinen arvo on olemassa. Lasketaan ensin derivaatta

Sen nollakohdaksi saadaan ehdosta piste (vastaava negatiivinen juuren arvo ei käy). Pienimmän arvon selvittämiseksi lasketaan funktion arvot päätepisteissä ja derivaatan nollakohdassa:

, ja .

Näistä keskimmäinen on pienin arvo, joka saatiin arvolla . Kaapeli kannattaa siis vetää vinoon noin 580 metriä tehtaalle päin.

Esimerkki 5.2.3.

Mikä niistä suljetuista lieriöistä, joiden kokonaispinta-ala on vakio, on tilavin?

Kun lieriön pohjan säde on ja korkeus on , ovat lieriön pinta-ala (vaipan ja pohjien yhteispinta-ala) ja tilavuus

ja
(missä ja ).

Koska ala on vakio, määräytyy tällöin edellisestä yhtälöstä korkeus pohjan säteen funktiona: . Implisiittisellä derivoinnilla saadaan alan lausekkeesta yhtälö

,

mistä saadaan edelleen derivaatalle ratkaisu

Tilavuusfunktion derivaatta on näin ollen

Tämä lauseke on nolla, kun tai . Näistä edellinen arvo antaisi nollatilavuuden, joten se hylätään. Jälkimmäinen arvo antaa tehtävän luonteen mukaan selvästi maksimitilavuuden.

Vastaus: Sellainen lieriö, jonka korkeus on kaksi kertaa pohjan säde.

Opiskelutehtävä 29. (Suurimman arvon määrääminen)

Joki tekee maatilan nurkassa kulman. Tilallinen haluaa rajata kahdella suoralla aidalla laidunmaata joen rannasta niin, että toinen aita on joen suuntainen ja toinen tätä aitaa kohtisuorassa. Joen rantaan ei tarvita aitaa. Hänellä on käytössään yhteensä 1500 metriä aitaa. Kuinka hänen on aita jaettava, jotta hän saisi pinta-alaltaan mahdollisimman suuren laidunmaan.

Vinkki tehtävään 29

Havainnollistus: Kolmion suurin ala

Havainnollistus: Laatikon suurin tilavuus

Harjoitustehtäviä