Toinen ääriarvotesti

Myös toisen derivaatan avulla voidaan paikallisen ääriarvon tyyppi (maksimi tai minimi) määrätä.

Lause 5.1.7. (2. ääriarvotesti)

Oletetaan, että funktio on derivoituva pisteen sisältävällä avoimella välillä, ja on olemassa. Jos tällöin , on piste funktion paikallinen minimikohta, jos taas , on funktion paikallinen maksimikohta. (Tapauksessa ei voi sanoa tämän perusteella mitään.)

Todistus. Jos , on derivaatta kasvava pisteen ympäristössä ja siten sen merkki muuttuu pisteessä negatiivisesta positiiviseksi. Edellisen lauseen mukaan piste funktion paikallinen minimikohta.

Vastaavasti tilanteessa derivaatta on vähenevä, joten sen merkki muuttuu pisteessä positiivisesta negatiiviseksi ja näin ollen piste on funktion paikallinen maksimikohta.

Esimerkki 5.1.8.

Tutkitaan funktion ääriarvoja. Funktio on polynomina kaikkialla jatkuva ja derivoituva. Selvitetään funktion derivaatan nollakohdat. Derivaatta on , joten , kun tai . On saatu siten kaksi ehdokasta ääriarvokohdiksi.

Selvitetään sitten, ovatko saadut ehdokkaat todellisia ääriarvokohtia. Tehdään se ensin 1. ääriarvotestin mukaisesti. Jatkuvuuden ja derivaatan merkin säilyvyyden perusteella funktio on aidosti monotoninen väleillä , ja . Monotonisuuden laadun selvittämiseksi riittää nyt kullakin välillä verrata funktion arvoja välipisteissä ja päätepisteissä. Esimerkiksi ja , joten on aidosti vähenevä välillä . Vastaavasti arvojen , ja perusteella on aidosti kasvava välillä ja aidosti vähenevä välillä . Samat monotonisuustulokset voi päätellä myös siitä, että derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, mistä sen merkit voi helposti päätellä. Kohdat ja ovat siis paikallisia ääriarvokohtia, edellinen paikallinen minimikohta ja jälkimmäinen paikallinen maksimikohta.

Ääriarvojen tyypin määrittely voidaan tehdä myös 2. ääriarvotestin mukaisesti. Funktion toinen derivaatta on kaikkialla olemassa ja saa pisteissä ja arvot ja , joten nyt myös tämän ääriarvotestin perusteella pisteet ja ovat paikallisia ääriarvokohtia, edellinen paikallinen minimikohta ja jälkimmäinen paikallinen maksimikohta.

Kumpikaan paikallinen ääriarvokohta ei ole globaali ääriarvokohta. Katso kuva 45.

Kuva 45. Esimerkin 5.1.8 kuva

Opiskeluvideo: K1: Funktion ääriarvot

Opiskelutehtävä 28. (Funktion ääriarvot ja monotonisuus)

Mitä voit sanoa funktiosta välillä ? Määrää ääriarvot ja monotonisuusalueet. Millainen se on tämän välin ulkopuolella?

Vinkki tehtävään 28

Havainnollistus: Testaa tietosi derivaatasta