[Etusivu] [Sisällysluettelo] [Hakemisto]
[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]


6.3. Määrätty integraali

Edellisissä osioissa on opeteltu muodostamaan suureen määrän muuttumista kuvaavia funktioita sen kasvunopeuden avulla joissakin esimerkkitilanteissa. Seuraavassa esimerkissä tarkastellaan ongelmaa yleisemmin.

Esimerkki 6.15.

Jatkuva funktio ilmoittaa erään yrityksen tuotantonopeuden  (kpl/vrk) ajan (vrk) funktiona, kun . Määrää yrityksen tuotantomäärä näiden 30 vuorokauden aikana.

Ratkaisu:

Vaihdelkoon tuotantonopeus ajan suhteen oheisen kuvion mukaisesti. Tämä vaihtelu vaikeuttaa ongelman ratkaisemista. Jos tuotantonopeus pysyisi vakiona, tuotantomäärä saataisiin kertomalla vakiotuotantonopeus aikavälin pituudella. Nyt ei voida menetellä tällä tavoin.

Määrätään aluksi arvio tuotantomäärälle näiden 30 vuorokauden aikana. Jaetaan aikaväli osaväliin. Merkitään jakopisteitä tunnuksin , missä (vrk) ja (vrk). Osavälien pituudet olkoot , missä . Arvioidaan, että kullakin osavälillä tuotantonopeus on sama kuin välin alkupisteessä. Tällöin aikavälillä arvio tuotantomäärälle on välin alkupisteen tuotantonopeuden ja aikavälin pituuden tulo , . Yrityksen tuotantomäärä tarkasteltujen 30 vuorokauden aikana on tämän nojalla likimäärin summa

 

Merkitään arviota, joka saatiin tuotantomäärälle jakamalla aikaväli osaväliin, symbolilla . Edellä saatu arvio tuotantomäärälle voidaan ilmoittaa lyhyemmin summamerkintää käyttäen:

 

Geometrisesti tulkittuna tämä arvio on oheiseen kuvaan piirrettyjen suorakulmioiden yhteenlaskettu pinta-ala.

Edellä tehty arvio paranee jakovälien lukumäärän lisääntyessä (ks. oheinen kuvio). Yrityksen tuotannon määrä saadaan tämän arvion raja-arvona, kun jakovälien lukumäärä . Voidaan osoittaa, että funktion ollessa jatkuva summalla on tietty raja-arvo, kun jakovälien lukumäärä ja jakovälin pituus kaikilla . Tämä raja-arvo

 

on yrityksen tuotantomäärä tarkasteltujen 30 vuorokauden aikana. Geometrisesti tulkittuna tämä raja-arvo on funktion kuvaajan, -akselin sekä suorien ja rajoittaman alueen pinta-ala.

Vastaus:   Yrityksen tuotantomäärä näiden 30 vuorokauden aikana on raja-arvo

 

6.3.1. Määrätyn integraalin määritelmä

6.3.2. Analyysin peruslause

6.3.3. Määrätyn integraalin ominaisuuksia

6.3.4. Kertymäfunktio

6.3.5. Pinta-alan laskeminen


[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]