[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]
Jos funktio on jatkuva välillä
, niin määrätty integraali
missä on jokin funktion
integraalifunktio.
Perustelu: Muodostetaan pinta-alafunktio , joka ilmoittaa välillä
funktion
kuvaajan ja
-akselin väliin jäävän alueen pinta-alan. Tällöin
ja
Osoitetaan ensin, että pinta-alafunktion derivaatta
. Funktion
erotusosamäärä kohdassa
on
Erotusosamäärän osoittaja on käyrän
ja
-akselin välillä
rajoittaman alueen pinta-ala. Kun
on hyvin pieni, tämä pinta-ala on likimäärin yhtä suuri kuin suorakulmio, jonka kanta on
ja korkeus
. Tämän pinta-ala on
, joten
Tämä approksimaatio on sitä parempi mitä pienempi on. Kun
, arvion virhe lähestyy myös nollaa, joten
Pinta-alafunktio siis jokin funktion
integraalifunktio. Oletetaan, että funktio
on eräs funktion
integraalifunktio. Tällöin kaikki
:n integraalifunktiot ovat muotoa
, missä
, ja erityisesti pinta-alafunktio
jollakin
. Koska
, on
kaikilla . Tästä seuraa, että funktion
kuvaajan,
-akselin sekä suorien
ja
rajoittaman alueen pinta-ala
missä on jokin funktion
integraalifunktio.
arvon laskeminen analyysin peruslauseen nojalla on kaksivaiheinen:
• määrätään jokin funktion integraalifunktio
ja
Vaiheessa, jossa funktio on integroitu, mutta arvoja
ja
ei ole vielä laskettu käytetään merkintää
joka tarkoittaa erotusta . Merkintä luetaan: "sijoitus
:sta
:hen
". Siis