6.3.2. Analyysin peruslause

Jos funktio on jatkuva välillä , niin määrätty integraali

missä on jokin funktion integraalifunktio.

Perustelu: Muodostetaan pinta-alafunktio , joka ilmoittaa välillä funktion kuvaajan ja -akselin väliin jäävän alueen pinta-alan. Tällöin ja

Osoitetaan ensin, että pinta-alafunktion derivaatta . Funktion erotusosamäärä kohdassa on

Erotusosamäärän osoittaja on käyrän ja -akselin välillä rajoittaman alueen pinta-ala. Kun on hyvin pieni, tämä pinta-ala on likimäärin yhtä suuri kuin suorakulmio, jonka kanta on ja korkeus . Tämän pinta-ala on , joten

Tämä approksimaatio on sitä parempi mitä pienempi on. Kun , arvion virhe lähestyy myös nollaa, joten

eli kaikilla .

Pinta-alafunktio siis jokin funktion integraalifunktio. Oletetaan, että funktio on eräs funktion integraalifunktio. Tällöin kaikki :n integraalifunktiot ovat muotoa , missä , ja erityisesti pinta-alafunktio jollakin . Koska , on

Pinta-alafunktio on siten

kaikilla . Tästä seuraa, että funktion kuvaajan, -akselin sekä suorien ja rajoittaman alueen pinta-ala

Toisaalta

joten

missä on jokin funktion integraalifunktio.

Huom!

Määrätyn integraalin

arvon laskeminen analyysin peruslauseen nojalla on kaksivaiheinen:

• määrätään jokin funktion integraalifunktio ja

• lasketaan erotus .

Vaiheessa, jossa funktio on integroitu, mutta arvoja ja ei ole vielä laskettu käytetään merkintää

joka tarkoittaa erotusta . Merkintä luetaan: "sijoitus :sta :hen ". Siis

Esimerkki 6.16.

Laske määrätty integraali

Ratkaisu:

Vastaus:   18

Esimerkki 6.17.

Laske määrätty integraali

Ratkaisu:

Vastaus:   

Esimerkki 6.18.

Laske määrätty integraali

Ratkaisu:

Vastaus:   

Esimerkki 6.19.

Laske määrätty integraali

Ratkaisu:

Vastaus:   1

[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]