[Etusivu] [Sisällysluettelo] [Hakemisto]
[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]

6.3.1. Määrätyn integraalin määritelmä

Olkoon funktio jatkuva suljetulla välillä . Jaetaan väli edellisen esimerkin tapaan osaväliin. Merkitään jakopisteitä tunnuksin , missä ja . Osavälien pituudet olkoot , missä kaikilla . Muodostetaan summa

 

Kun jakopisteiden lukumäärä ja jakovälin pituus kaikilla , summa lähestyy raja-arvoa, joka on funktion määrätty integraali :sta :hen ja jota merkitään

 

Funktion määrätty integraali :sta :hen on siis raja-arvo

 

jos tämä raja-arvo on olemassa. Lukuja ja kutsutaan integroimisrajoiksi: on alaraja ja on yläraja.

Huom!

Johdantoesimerkissä saatu raja-arvo, joka ilmoittaa yrityksen tuotannon määrän tarkasteltavien 30 vuorokauden aikana, on tuotantonopeusfunktion määrätty integraali 0:sta 30:een, jota merkitään

 

Määrätyn integraalin geometrinen tulkinta

Geometrisesti tulkittuna funktion määrätty integraali :sta :hen on itseisarvoltaan funktion kuvaajan, -akselin sekä suorien ja rajoittaman alueen pinta-ala. Tämä on ymmärrettävissä seuraavasti. Jos funktio on välillä jatkuva ja ei-negatiivinen, summan termit ilmoittavat sen suorakulmion pinta-alan, jonka kanta on jakovälin pituus ja korkeus funktion arvo jakovälin alkupisteessä . Tällöin summa

 

on likiarvo funktion kuvaajan, -akselin sekä suorien ja rajoittaman alueen pinta-alalle.

Arvio paranee, kun jakovälien lukumäärä kasvaa ja jakovälin pituus pienenee. Alueen pinta-ala on siten summan raja-arvo, kun ja kaikilla :

 

Edellä oletettiin, että funktio on ei-negatiivinen välillä . Jos kaikilla , niin määrätty integraali

 

ja se on itseisarvoltaan yhtä suuri kuin funktion kuvaajan, -akselin sekä suorien ja rajoittaman alueen pinta-ala.

Määrätyn integraalin laskeminen summan raja-arvona on työlästä ja vaatii yleensä tehokkaan laskulaitteen käyttämistä. Poikkeuksena ovat sellaiset erikoistapaukset, joissa määrätty integraali voidaan laskea geometrisesti pinta-alana. Seuraava lause tarjoaa yksinkertaisemman tavan määrätyn integraalin laskemiseksi.

[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]