[Etusivu] [Sisällysluettelo] [Hakemisto]
[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]

---

Funktioiden summan määrätty integraali

Funktioiden ja summan määrätty integraali on yhteenlaskettavien funktioiden määrättyjen integraalien summa:

 

Olkoon funktio jokin funktion integraalifunktio ja jokin funktion integraalifunktio, jolloin on summafunktion integraalifunktio. Tällöin

 

Vakiolla kerrotun funktion määrätty integraali

Integroitavan funktion vakiokerroin voidaan siirtää määrätyn integraalin kertoimeksi:

 

Tämä ominaisuus voidaan todistaa samoin kuin edellinenkin, joten se jätetään lukijalle harjoitustehtäväksi.

Esimerkki 6.20.

Laske määrätty integraali

 

Ratkaisu:

 

Vastaus:   

Integroimisrajat yhtä suuret

Jos määrätyn integraalin ylä- ja alaraja ovat yhtä suuret, määrätyn integraalin arvo on 0:

 

Olkoon jokin funktion integraalifunktio. Tällöin

 

Integroimisrajojen vaihto

Jos ylä- ja alaraja vaihdetaan keskenään, määrätty integraali muuttuu vastaluvukseen:

 

Olkoon jälleen funktio funktion jokin integraalifunktio. Tällöin

 

Määrätyn integraalin yhteenlaskuominaisuus integroimisrajojen suhteen

Kun lasketaan yhteen funktion määrätyt integraalit :sta :hen ja :stä :hen, summa on yhtä suuri kuin funktion määrätty integraali :sta :hen:

 

Ominaisuuden nojalla funktion määrätty integraali voidaan laskea myös paloittain. Tulos on voimassa, kun funktio on jatkuva välillä, joka sisältää luvut ja . Luvun ei tarvitse kuulua välille .

Tämä ominaisuus voidaan todistaa samoin kuin aiemmatkin, joten todistus jätetään lukijalle harjoitustehtäväksi.