[Etusivu] [Sisällysluettelo] [Hakemisto]
[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]

---

Summan integrointi

Funktioiden ja summan integraalifunktio on funktioiden ja integraalifunktioiden summa:

 

Vakiolla kerrotun funktion integrointi

Funktion , missä on jokin vakio, integraalifunktio saadaan, kun kerrotaan funktion integraalifunktio vakiolla :

 

Potenssifunktion integrointi

Potenssifunktion , missä ja , integraalifunktio on

 

Perustelu:

 

Esimerkki 6.4.

Määrää polynomifunktion kaikki integraalifunktiot.

Ratkaisu:

 

Vastaus:   

Huom!

Integroinnin tuloksen voi aina tarkistaa derivoimalla:

 

Esimerkki 6.5.

Integroi funktio .

Ratkaisu:

Koska tulolle ei ole erityistä integroimissääntöä, suoritetaan ensin kertolasku ja integroidaan näin saatu funktio.

 

Vastaus:   

Esimerkki 6.6.

Integroi funktio .

Ratkaisu:

 

Vastaus:   

Edellä esitelty potenssifunktion integroimissääntö sopii kaikille niille potenssifunktioille , joilla . Mikä sitten olisi funktion integraalifunktio? Koska luonnollisen logaritmifunktion derivoimissäännön mukaan , kun , on potenssifunktion integraalifunktio

 

Huom!

Logaritmifunktion argumentissa on itseisarvo, koska logaritmi on määritelty ainoastaan positiivisilla luvuilla. Derivoimalla on helppo todeta, että em. integroimissääntö on voimassa myös, kun , jolloin sen itseisarvo on .

Esimerkki 6.7.

Integroi funktio

 

Ratkaisu:

Osamäärälle ei ole olemassa erityistä integroimissääntöä. Jaetaan jokainen osoittajan termi erikseen nimittäjällä ja integroidaan näin saatu funktio.

 

Vastaus:   

Eksponenttifunktion integrointi

Eksponenttifunktioiden derivoimissääntöjen nojalla niiden integraalifunktiot ovat:

 

Trigonometristen funktioiden integrointi

Koska , on kosinifunktion integraalifunktio

 

Koska , on sinifunktion integraalifunktio

 

Yhdistetyn funktion integrointi

Yhdistetyn funktion derivoimissäännöistä voidaan johtaa lisää integroimissääntöjä, jotka on koottu seuraavaan luetteloon.

• Koska , niin

 

• Koska , niin

 

• Koska , niin

 

• Koska , niin

 

• Koska , niin

 

Esimerkki 6.8.

Integroi funktio .

Vastaus:   

Esimerkki 6.9.

Integroi funktio .

Ratkaisu:

 

Vastaus:   

Esimerkki 6.10.

Integroi funktio

 

Ratkaisu:

 

Vastaus:   

Esimerkki 6.11.

Integroi funktio .

Ratkaisu:

 

Vastaus:   

Esimerkki 6.12.

Integroi funktio

 

Ratkaisu:

 

Vastaus:   

Huom!

Edellä esitellyt integroimissäännöt sopivat vain tiettyihin funktioihin. Esimerkiksi funktion integrointi ei onnistu niiden avulla. Hankalissa tapauksissa kannattaa kokeilla osittaisintegrointia tai integrointia sijoituksen aulla. Tällä kurssilla nämä integrointimenetelmät sivuutetaan. Halutessaan lukija voi opiskella menetelmät sopivista integraalilaskentaa käsittelevistä oppikirjoista.

Esimerkki 6.13.

Kun kivi heitetään suoraan ylöspäin alkunopeudella 26 (m/s), sen nopeus (m/s) ajan (s) funktiona on

 

Muodosta funktio, joka ilmoittaa kiven korkeuden (m) lähtötasolta mitattuna. Kuinka kauan kivi on ilmassa?

Ratkaisu:

Kiven nopeus on sen sijainti- eli korkeusfunktion derivaatta. Kiven korkeusfunktio on jokin sen nopeusfunktion integraalifunktio.

 

Koska kiven korkeus hetkellä (s) on heittotason korkeus (m) ja , edellä saaduista integraalifunktioista korkeuden ilmoittaa se, jossa vakio (m). Kiven korkeuden (m) ajan (s) kuluttua heitosta ilmoittaa funktio

 

Kiven lentoaika saadaan, kun ratkaistaan yhtälö .

 

Kivi on ilmassa n. 5,3 (s).

Vastaus:   Kiven korkeus ajan funktiona on . Kivi on ilmassa n. 5,3 (s).

Esimerkki 6.14.

Erään hyödykkeen rajakustannukset (mk/kpl) ovat tuotantonopeuden  (kpl/kk) funktiona

 

Muodosta funktio, joka ilmoittaa tuotantokustannukset  (mk/kk) tuotantonopeuden (kpl/kk) funktiona, kun kiinteät tuotantokustannukset ovat 1200 (mk/kk). Kuinka suuret ovat hyödykkeen tuotantokustannukset, kun tuotantonopeus on 1500 (kpl/kk)?

Ratkaisu:

Hyödykkeen rajakustannukset ovat sen tuotantokustannusten muutosnopeus, joten rajakustannukset ovat tuotantokustannusten derivaattafunktio. Tuotantokustannusfunktio on siten eräs rajakustannusten integraalifunktio.

 

 

Kun (kpl/kk), tuotantokustannukset ovat 1200 (mk/kk). Koska

 

oheisista rajakustannusten integraalifunktioista tuotantokustannukset ilmoittaa se, jolla vakio (mk/kk). Tuotantokustannukset ovat

 

Kun tuotantonopeus on 1500 (kpl/kk), tuotantokustannukset ovat

 

Vastaus:   Tuotantokustannukset tuotantonopeuden funktiona ovat

 

Kun tuotantonopeus on 1500 (kpl/kk), kustannukset ovat 41700 (mk/kk).

Harjoituksia

1.  Integroi

(a)

(b)

Vastaus tehtävään 1

2.  Integroi

(a)

(b)

Vastaus tehtävään 2

3.  Integroi

(a)

(b)

Vastaus tehtävään 3

4.  Integroi

(a)

(b)

Vastaus tehtävään 4

5.  Integroi

(a)

(b)

Vastaus tehtävään 5

6.  Integroi

(a)

(b)

Vastaus tehtävään 6

7.  Raketin nopeus on lähdön jälkeen vähän aikaa suoraan verrannollinen lähtöhetkestä kuluneen ajan neliöön. Neljän sekunnin kuluttua lähdöstä raketin nopeus oli 62 (m/s). Kuinka pitkän matkan raketti kulki neljän ensimmäisen sekunnin aikana?

Vastaus tehtävään 7

8.  Erään kaupungin asukasluvun arvioidaan kasvavan (kk):n kuluttua tästä hetkestä alkaen nopeudella

 

Kaupungin asukasluku on tällä hetkellä 12600 (as). Laske kaupungin arvioitu asukasluku 9 (kk):n kuluttua.

Vastaus tehtävään 8

9.  Erään hyödykkeen rajakustannukset (mk/kpl) ovat tuotantonopeuden (kpl/kk) funktiona (mk/kpl). Mitkä ovat rajakustannusfunktion määrittelyssä esiintyvien vakioiden mittayksiköt? Kiinteät tuotantokustannukset ovat 9000 (mk/kk). Muodosta funktio, joka ilmoittaa hyödykkeen tuotantokustannukset (mk/kk) tuotantonopeuden (kpl/kk) funktiona. Laske, kuinka paljon kustannukset kasvavat, kun tuotantonopeutta lisätään arvosta 100 (kpl/kk) arvoon 101 (kpl/kk). Vertaan tulosta rajakustannuksiin tuotantonopeudella 100 (kpl/kk).

Vastaus tehtävään

10.  Eräällä alueella Lapissa mäkäräisten lukumäärä kasvaa suotuisissa olosuhteissa nopeudella

,

missä (vrk) on aika tarkastelun alkuhetkestä. Kuinka paljon alueella oli mäkäräisiä 14 (vrk):n kuluttua, kun niitä oli aluksi 10000 (kpl)?

Vastaus tehtävään 10