[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]
Tarkastellaan jatkuvan funktion määrättyä integraalia ylärajan funktiona. Olkoon
Tällöin on eräs funktion
integraalifunktio, sillä
(vrt. analyysin peruslauseen perustelu). Jos
on jokin funktion
integraalifunktio, analyysin peruslauseen nojalla
Funktio on siten se
:n integraalifunktio
, jolla
. Jos funktio
ilmoittaa jonkin suureen kasvunopeuden, sen integraalifunktio
, jolle
, ilmoittaa suureen kohdan
jälkeen kertyneen määrän. Tästä syystä funktiota
kutsutaan suureen
kertymäfunktioksi.
Jos esimerkiksi funktio ilmoittaa kappaleen nopeuden ajan
funktiona, niin kertymäfunktio
ilmoittaa kappaleen ajanhetken jälkeen kulkeman matkan (ts. aikavälillä
kulkeman matkan). Vastaavasti, jos
on yrityksen ajan
suhteen vaihteleva tuotantonopeusfunktio, niin kertymäfunktio
ilmoittaa yrityksessä aikavälillä tuotetun määrän.
Erään kuukauden aikana koskessa virranneen veden virtausnopeus (
) vaihteli ajan
(vrk) suhteen noudattaen funktiota
kun . Laske koskessa 30 vuorokauden aikana virranneen veden määrä.
Veden virtausnopeusfunktio on koskessa ajanhetkeen
mennessä virranneen veden määrän
derivaattafunktio:
. Virranneen veden määrän ilmoittava funktio on siten jokin virtausnopeusfunktion integraalifunktio. Aikavälillä
koskessa virranneen veden määrä on erotus
eli määrätty integraali
Lasketaan tämän määrätyn integraalin arvo.
Vastaus: Koskessa virtasi kuukauden aikana vettä n. .