[Etusivu] [Sisällysluettelo] [Hakemisto]
[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]

---

Käyrän ja koordinaattiakselin rajoittama alue

Aiemmin on jo todettu, että funktion kuvaajan, -akselin sekä suorien ja rajoittaman alueen pinta-ala on

 

jos , kun .

Jos , kun , niin määrätty integraali

 

on negatiivinen ja itseisarvoltaan yhtä suuri kuin funktion kuvaajan ja -akselin välillä rajoittaman alueen pinta-ala. Tällöin tuo pinta-ala on

 

Esimerkki 6.22.

Laske käyrän ja -akselin rajoittaman alueen pinta-ala.

Ratkaisu:

Ratkaistaan ensin käyrän ja -akselin leikkauskohdat.

 

Oheiseen kuvaan on piirretty käyrä . Kun , funktio ja kun , on . Käyrän ja -akselin rajoittaman alueen pinta-ala on siten

 

Lasketaan pinta-ala näiden määrättyjen integraalien avulla.

 

Vastaus:   

Esimerkki 6.23.

Oheisen kuvan teltan päätypilarit ovat paraabelin muotoiset. Laske teltan tilavuus.

Ratkaisu:

Teltan tilavuus on päädyn pinta-alan ja teltan pituuden tulo.

Määrätään ensin päädyn pinta-alan laskemista varten päätyä kuvaavan paraabelin yhtälö. Sijoitetaan paraabeli koordinaatistoon siten, että sen huippu on -akselilla pisteessä . Tällöin päädyn pinta-ala on yhtä suuri kuin tämän paraabelin ja -akselin rajoittama ala. Paraabeli leikkaa -akselin pisteissä . Koska paraabelin huippu on -akselilla pisteessä , paraabelin yhtälö on muotoa , missä .

Määrätään paraabelin yhtälön vakio . Koska piste on paraabelilla, on voimassa

 

Paraabelin yhtälö on siten

 

Lasketaan paraabelin ja -akselin rajoittaman alueen ala:

 

Teltan tilavuus on tällöin

 

Vastaus:   Teltan tilavuus on 5,52 .

Kahden käyrän rajoittama alue

Määrätyn integraalin avulla voidaan laskea myös kahden käyrän rajoittaman alueen pinta-ala. Jos välillä on voimassa , niin funktioiden ja kuvaajien sekä suorien ja rajoittaman alueen pinta-ala on

 

Esimerkki 6.24.

Laske pinta-ala alueelle, jota rajoittavat käyrä ja suorat , sekä .

Ratkaisu:

Koska välillä käyrä on suoran yläpuolella, alueen pinta-ala on

 

Vastaus:   

Harjoituksia

Laske tehtävissä 11-14 annetut integraalit.

11.  (a)

(b)

Vastaus tehtävään 11

12.  (a)

(b)

Vastaus tehtävään 12

13.  (a)

(b)

Vastaus tehtävään 13

14.  (a)

(b)

Vastaus tehtävään 14

15.  Osoita, että

 

Vastaus tehtävään 15

16.  Osoita, että

 

Vastaus tehtävään 16

17.  Laske positiivisten koordinaattiakselien ja paraabelin rajoittaman äärellisen alueen pinta-ala.

Vastaus tehtävään 17

18.  Laske suoran paraabelista erottaman segmentin ala. Piirrä kuva.

Vastaus tehtävään 18

19.  Määrää pinta-ala alueelle, jota rajoittavat käyrä ja suorat , sekä .

Vastaus tehtävään 19

20.  Junan nopeus riippuu ajasta alla olevan kuvan mukaisesti. Laske junan kulkema matka.

Vastaus tehtävään 20

21.  Ohituksessa auton nopeus kasvoi tasaisesti nopeudesta 75 (km/h) nopeuteen 105 (km/h). Kiihdytydaika oli 6 (s). Muodosta funktio, joka ilmoittaa auton nopeuden (s) kuluttua kiihdytyksen alkamisesta. Kuinka pitkän matkan auto kulki kiihdytyksen aikana?

Vastaus tehtävään 21

22.  Erään tuotteen rajakustannukset (mk/kpl) tuotantonopeuden (kpl/vrk) funktiona ovat

 

Mitkä ovat rajakustannusfunktion määrittelyssä esiintyvien vakioiden mittayksiköt? Kuinka suuret ovat tuotantokustannukset vuorokaudessa, kun tuotantonopeutta lisätään arvosta 100 (kpl/vrk) arvoon 400 (kpl/vrk)?

Vastaus tehtävään 22

23.  Tutkimusten mukaan liikennevirta eräällä tiellä perjantaina klo 14.30 ja 18.30 välisenä aikana noudattaa funktiota (autoa/h), missä on aika tunteina klo 14.30:sta alkaen. Kuinka monta autoa tiellä kulki perjantaina klo 14.30 ja 18.30 välisenä aikana?

Vastaus tehtävään 23

24.  Sähkölaite kuluttaa energiaa kaksi ensimmäistä tuntia teholla 0,6 (kW). Kahden tunnin kuluttua käynnistyksestä laitteen teho on , missä on laitteen käynnistyksestä kulunut aika tunteina. Kuinka suuri on laitteen energiankulutus kilowattitunteina kahdeksantuntisen työpäivän aikana?

Vastaus tehtävään 24

25.  Kaupunginosan vesisäiliöön pumpataan vettä tasaisella nopeudella 100 . Vedenkulutus lauantai-iltapäivänä klo 14.00 ja klo 21.00 välisenä aikana noudattaa funktiota , missä on aika klo 14.00:sta lakettuna. Kuinka paljon säiliön vesimäärä muuttuu lauantaina klo 14.00 ja 21.00 välisenä aikana?

Vastaus tehtävään 25