[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]
Aiemmin on jo todettu, että funktion
kuvaajan,
-akselin sekä suorien
ja
rajoittaman alueen pinta-ala on
Jos
, kun
, niin määrätty integraali
on negatiivinen ja itseisarvoltaan yhtä suuri kuin funktion kuvaajan ja -akselin välillä
rajoittaman alueen pinta-ala. Tällöin tuo pinta-ala on
Laske käyrän ja
-akselin rajoittaman alueen pinta-ala.
Ratkaistaan ensin käyrän ja -akselin leikkauskohdat.
Oheiseen kuvaan on piirretty käyrä .
Kun
, funktio
ja kun
, on
. Käyrän ja
-akselin rajoittaman alueen pinta-ala on siten
Lasketaan pinta-ala näiden määrättyjen integraalien avulla.
Oheisen kuvan teltan päätypilarit ovat paraabelin muotoiset. Laske teltan tilavuus.
Teltan tilavuus on päädyn pinta-alan ja teltan pituuden tulo.
Määrätään ensin päädyn pinta-alan laskemista varten päätyä kuvaavan paraabelin yhtälö. Sijoitetaan paraabeli koordinaatistoon siten, että sen huippu on -akselilla pisteessä
. Tällöin päädyn pinta-ala on yhtä suuri kuin tämän paraabelin ja
-akselin rajoittama ala. Paraabeli leikkaa
-akselin pisteissä
. Koska paraabelin huippu on
-akselilla pisteessä
, paraabelin yhtälö on muotoa
, missä
.
Määrätään paraabelin yhtälön vakio
. Koska piste
on paraabelilla, on voimassa
Määrätyn integraalin avulla voidaan laskea myös kahden käyrän rajoittaman alueen pinta-ala. Jos välillä on voimassa
, niin funktioiden
ja
kuvaajien sekä suorien
ja
rajoittaman alueen pinta-ala on
Laske pinta-ala alueelle, jota rajoittavat käyrä ja suorat
,
sekä
.
Koska välillä käyrä
on suoran
yläpuolella, alueen pinta-ala on
Laske tehtävissä 11-14 annetut integraalit.
17. Laske positiivisten koordinaattiakselien ja paraabelin rajoittaman äärellisen alueen pinta-ala.
18. Laske suoran paraabelista
erottaman segmentin ala. Piirrä kuva.
19. Määrää pinta-ala alueelle, jota rajoittavat käyrä ja suorat
,
sekä
.
20. Junan nopeus riippuu ajasta
alla olevan kuvan mukaisesti. Laske junan kulkema matka.
21. Ohituksessa auton nopeus kasvoi tasaisesti nopeudesta 75 (km/h) nopeuteen 105 (km/h). Kiihdytydaika oli 6 (s). Muodosta funktio, joka ilmoittaa auton nopeuden (s) kuluttua kiihdytyksen alkamisesta. Kuinka pitkän matkan auto kulki kiihdytyksen aikana?
22. Erään tuotteen rajakustannukset (mk/kpl) tuotantonopeuden
(kpl/vrk) funktiona ovat
Mitkä ovat rajakustannusfunktion määrittelyssä esiintyvien vakioiden mittayksiköt? Kuinka suuret ovat tuotantokustannukset vuorokaudessa, kun tuotantonopeutta lisätään arvosta 100 (kpl/vrk) arvoon 400 (kpl/vrk)?
23. Tutkimusten mukaan liikennevirta eräällä tiellä perjantaina klo 14.30 ja 18.30 välisenä aikana noudattaa funktiota (autoa/h), missä
on aika tunteina klo 14.30:sta alkaen. Kuinka monta autoa tiellä kulki perjantaina klo 14.30 ja 18.30 välisenä aikana?
24. Sähkölaite kuluttaa energiaa kaksi ensimmäistä tuntia teholla 0,6 (kW). Kahden tunnin kuluttua käynnistyksestä laitteen teho on , missä
on laitteen käynnistyksestä kulunut aika tunteina. Kuinka suuri on laitteen energiankulutus kilowattitunteina kahdeksantuntisen työpäivän aikana?
25. Kaupunginosan vesisäiliöön pumpataan vettä tasaisella nopeudella 100 . Vedenkulutus lauantai-iltapäivänä klo 14.00 ja klo 21.00 välisenä aikana noudattaa funktiota
, missä
on aika klo 14.00:sta lakettuna. Kuinka paljon säiliön vesimäärä muuttuu lauantaina klo 14.00 ja 21.00 välisenä aikana?