Opiskelutehtäviä 6 (Symmetria ja monitahokkaat)

6.1. Kuvaa kaikki kuution erilaiset kiertosymmetriat. Valitse erilaisia kiertoakseleita ja selvitä kunkin kohdalla, millaisia uusia asentoja saat kuutiolle. Montako tällaista symmetriakuvausta saat yhteensä?

[Vinkki tehtävään 6.1]

6.2. Tarkista dihedraaliryhmässä tulo graafisesti kolmioiden avulla. (Muodosta vasemman puolen tulo permutaatio kerrallaan.)

[Vinkki tehtävään 6.2]

6.3. Kuvaa kirjaimen H symmetriaryhmä permutaatioilla ja ilmoita saadun ryhmän kertotaulukko. (Nimeä sitä varten kyseisen kirjainkuvion 'kriittisiä' kohtia.)

[Vinkki tehtävään 6.3]

6.4. Tee taulukko, josta näkyy jokaiselle säännölliselle monitahokkaalle kärkien, särmien ja tahkojen lukumäärä. Tarkista, että Eulerin kaava pätee näille.

[Vinkki tehtävään 6.4]

6.5. a) Yhdistä tetraedrin vierekkäisten tahkojen keskipisteet janoilla. Mikä monitahokas saadaan, kun nämä saadut janat ajatellaan sen särmiksi?

b) Tee sama kuutiolle ja oktaedrille. Mitä voit tämän perusteella sanoa näiden kierto- ja symmetriaryhmistä?

[Vinkki tehtävään 6.5]

6.6. Käytettävissäsi on kahdenvärisiä tasasivuisia (ja samansuuruisia) kolmioita. Kuinka monta erilaista tetraedria voit niistä muodostaa?

[Vinkki tehtävään 6.6]