Käänteisfunktion derivaatta

Tarkastellaan derivoituva funktiota, jolla on käänteisfunktio. Jos käänteisfunktion lauseke pystytään ratkaisemaan, voidaan sen derivaatta määrätä derivoimissäännöin. Käyttämällä apuna yhdistetyn funktion derivoimista voidaan käänteisfunktion derivaatta kuitenkin määrätä ilman funktion lausekkeen määräämistä.

Lause 3.3.9.

Olkoon funktio avoimella välillä määritelty bijektio, joka on derivoituva pisteessä . Oletetaan lisäksi, että ja että käänteisfunktio on jatkuva pisteessä . Tällöin käänteisfunktio on derivoituva pisteessä ja

Todistus. Merkitään , jolloin . Käänteisfunktion erotusosamäärä pisteessä on nyt

Käänteisfunktion oletettiin olevan jatkuvan pisteessä , joten ehdosta seuraa ehto . Niinpä yllä olevan erotusosamäärän raja-arvo on . Lauseen väite on siten todistettu.

Kysymykseen käänteisfunktion olemassaolosta ja jatkuvuudesta palataan myöhemmin pykälässä Monotonisuus ja käänteisfunktio. Tässä vaiheessa käsitellään vain tapauksia, joissa lauseen vaatimukset (eritoten käänteisfunktion jatkuvuus) tiedetään olevan voimassa.

Esimerkki 3.3.10.

Funktiolla on jatkuva käänteisfunktio , kun funktioiden määrittelyt rajoitetaan väleille, joissa ja vastaavasti. Edellä olevan lauseen mukaan on

Tuloksena on siis, että neliöjuurifunktion derivaatta on

mikä on sama tulos kuin mitä esimerkissä 3.1.2 saatiin erotusosamäärän kautta.

Eräs tärkeä edellisen lauseen 3.3.9 sovellus on yleinen murtopotenssisen potenssifunktion derivaatan lauseke.

Lause 3.3.11.

(a)  Olkoon (). Silloin

Sääntö on voimassa kaikkialla, jos on pariton, mutta on voimassa vain positiivisille luvuille , jos on parillinen.

(b)  Olkoon (). Silloin , kun .

Todistus. (a) Funktion käänteiskuvaus on . Jos on parillinen, on määrittelyt rajattava positiivisiin lukuihin. Edellisen lauseen oletukset ovat nyt voimassa, joten

mistä väite saadaan muuttujan nimen vaihdolla.

(b) Jos (missä ), niin ja siten yhdistetyn funktion derivoimissäännön mukaan on

Esimerkki 3.3.12.

Derivoidaan seuraava lauseke osamäärän, yhdistetyn funktion ja potenssifunktion derivointisääntöjä käyttäen.

Lauseke on määritelty ja derivointi on voimassa, kun ja . Saatu vastaus on eräs mahdollinen sievennetty muoto − ei ole toki aina selvää, mikä olisi "sievin" muoto.

Opiskeluvideo: D5: Murtopotenssin derivointi