Yhdistetyn funktion derivaatta

Tarkastellaan derivoituvista funktioista muodostettujen yhdistettyjen funktioiden derivaatan määräytymistä.

Lause 3.3.6.

Olkoon yhdistetty funktio määritelty niin, että funktio on derivoituva pisteessä ja funktio on derivoituva pisteessä . Tällöin yhdistetty funktio on derivoituva pisteessä ja sen derivaatta voidaan muodostaa ns. ketjusäännöllä

.

Todistus. On selvitettävä erotusosamäärän

raja-arvo, kun . Ensinnäkin funktion derivoituvuuden perusteella on

,

missä , kun , ja . Kun merkitään, että , niin . Lisäksi funktion jatkuvuuden perusteella , kun .

Funktion derivoituvuuden perusteella on toisaalta

,

missä , kun , ja .

Edellä olevat tiedot yhdistämällä saadaan, että

Tämä osoittaa lauseen väitteen oikeaksi.

Lause 3.3.7.

Jos funktio on derivoituva pisteessä ja , , niin

.

Todistus.  Yhdistetyn funktion ja potenssifunktion derivoimissääntöjen mukaan on

.

Esimerkki 3.3.8.

Funktion () on yhdistetty kuvaus funktiosta (sisäfunktio) ja potenssifunktiosta (ulkofunktio), joten sen derivaatta on

Opiskeluvideo: D4: Yhdistetyn funktion derivointi