Erotusosamäärä ja derivaatta

Jos merkitään (ks. kuva 33), on ja siten

Tätä lauseketta (kaikkia sen muotoja) sanotaan funktion erotusosamääräksi tai Newtonin osamääräksi pisteessä .

Erotusosamäärän raja-arvoja sanotaan funktion derivaatoiksi seuraavasti. Pisteen ympäristössä määritellyn funktion oikeanpuoleinen (op.) derivaatta pisteessä on

ja vasemmanpuoleinen (vp.) derivaatta pisteessä on

mikäli kyseiset raja-arvot ovat olemassa ja ovat äärellisiä. Mikäli molemmat raja-arvot ovat samat, yhteinen arvo on funktion derivaatta pisteessä , merkitään . Siten

Koska lähestymisehdon kanssa yhtäpitävää on ehto , voidaan kirjoittaa myös, että

Jos funktiolla on (op./vp.) derivaatta pisteessä , sanotaan sen olevan (op./vp.) derivoituvan siinä pisteessä. Jos funktion erotusosamäärällä ei ole (op./vp.) raja-arvoa pisteessä , on funktio (op./vp.) epäderivoituva siinä pisteessä.

Havainnollistus: Tangentin kulmakerroin

Havainnollistus: Derivaatta erotusosamäärän raja-arvona

Havainnollistus: Funktion sekantti ja tangentti

Opiskeluvideo: D1: Derivaatta-käsite erotusosamäärän avulla

Esimerkki 3.1.1.

Tarkastellaan itseisarvofunktion derivaattoja.

Olkoon ensin . Silloin erotusosamäärä on (kun , jolloin )

joten tämän (vakion) raja-arvona .

Olkoon sitten . Silloin on (kun , jolloin )

joten nyt .

Pisteessä funktiolla on erotusosamäärä

Siten oikeanpuoleinen derivaatta nollassa on

ja vastaavasti vasemmanpuoleinen derivaatta nollassa on

Funktiolla ei ole siis derivaattaa nollassa, koska toispuoleiset derivaatat ovat erisuuret.

Opiskelutehtävä 17. (Funktion derivaatta pisteessä)

Tarkastellaan funktiota .

(a)  Määrää derivaatta pisteessä laskemalla raja-arvo

(b)  Määrää derivaatta pisteessä laskemalla raja-arvo

(c)  Toista edelliset kohdat yleisessä pisteessä .

(d)  Mikä on funktion derivaattafunktio? Piirrä funktion ja derivaattafunktion kuvaajat allekkain ja tulkitse kuvat.

Vinkki tehtävään 17

Esimerkki 3.1.2.

Määrätään neliöjuurifunktion derivaatta pisteessä . Tarkasteltava erotuosamäärä on nyt

Sen raja-arvo on

Siten .

Lisäksi käyrän tangentin yhtälö pisteessä on

Katso kuva 34.

Kuva 34.

Edellä olevat tarkastelut voidaan pisteen 5 sijasta toistaa yleisessä pisteessä . Tulokseksi saadaan, että derivaatta on

ja tangentin yhtälö on

Opiskeluvideo: D2: Derivaatan ratkaiseminen erotusosamäärällä

Derivaattaa ei kuitenkaan yleensä tarvitse määrätä määritelmään nojautuen erotusosamäärän raja-arvon kautta, vaan sitä varten voidaan johtaa erilaisia sääntöjä ja keinoja. Näitä johdetaan seuraavassa pykälässä. Sellaisissa erikoispisteissä, joissa yleisiä sääntöjä ei voida käyttää, derivaatta joudutaan kuitenkin määrittämään erotusosamäärän avulla.

Pykälän alussa rajoituttiin tarkastelemaan jatkuvia funktioita. Derivaatan määrittelyssä ei kuitenkaan jatkuvuutta välttämättä tarvita. Seuraava tulos osoittaa nimittäin, että funktio voi olla derivoituva vain sellaisissa pisteissä, joissa se on jatkuva.

Lause 3.1.3.

Pisteessä (op./vp.) derivoituva funktio on (op./vp.) jatkuva siinä pisteessä.

Todistus. Olkoon (vp. tilanne käsitellään vastaavasti). Silloin

joten

Funktio on siten oikealta jatkuva pisteessä .

Esimerkki 3.1.4.

Jatkuvan funktion ei suinkaan aina tarvitse olla derivoituva. Esimerkiksi itseisarvofunktio on kaikkialla jatkuva, mutta se ei ole derivoituva nollassa, sillä esimerkin 3.1.1 mukaan ja .

Opiskelutehtävä 18. (Derivoituvan funktion kuvaaja)

Piirrä jonkin sellaisen jatkuvan funktion , ja kuvaaja, joka toteuttaa annetut ehdot:

(a)  , , ja .

(b)   on derivoituva pisteissä , , , ja .

(c)   on derivoituva kaikkialla, , ja .

Vinkki tehtävään 18

Havainnollistus: Testaa tietosi derivaatasta