Tangentti

Funktion kuvaajaa voidaan tietyissä tapauksissa approksimoida sen tangenteilla eli kuvaajaa sivuavilla suorilla. Tämä ei kuitenkaan aina onnistu; esimerkiksi, jos kuvaajassa on hyppäys tai kulma, ei (yksikäsitteistä) tangenttia ole olemassa. Milloin tangentti voidaan muodostaa? Tarkastellaan sitä varten kuvaajan pisteitä yhdistäviä sekantteja.

Oletetaan, että funktio on tarkasteltavalla välillä jatkuva, jolloin sen kuvaaja

on yhtenäinen viiva. Kuvaajaa sanotaan tällöin myös käyräksi (missä  ).

Funktion raja-arvon yhteydessä (ks. Funktion raja-arvo) todettiin, että funktion kuvaaja saattaa olla tarkastelupisteen lähellä hyvin "suoramainen". Tarkastelemme lähemmin, milloin funktion kuvaaja "suoristuu", kun tarkastellaan hyvin pientä pisteen ympäristöä, ja mikä on silloin kuvaajan kaltevuus. Tähän tarvitaan ilmeisesti jonkinlaista sivuavan suoran käsitettä. Usein sanotaan, että suora sivuaa käyrää jossain pisteessä, jos tämä piste on suoran ja käyrän ainoa yhteinen piste. Kuvan 32 kuvaajat kuitenkin osoittavat, että tämä ei ole riittävän tarkka määrittely.

Kuva 32.

Sivuavan suoran eli tangentin tarkempaa määrittelyä varten tarkastellaan funktion kuvaajan kiinteää pistettä sekä sen toista muuttuvaa pistettä (ks. kuva 33).

Kuva 33.

Tällöin ja . Pisteiden ja kautta kulkevan suoran eli käyrän sekantin kulmakerroin on silloin

Tätä arvoa voi kutsua myös funktion keskimääräiseksi muutosnopeudeksi välillä .

Annetaan nyt pisteen lähestyä pistettä . Mikäli sekantin kulmakertoimen lausekkeella on raja-arvo olemassa, se on pisteeseen liittyvän tangentin (eli tangenttisuoran) kulmakerroin. Tätä raja-arvoa voi kutsua funktion hetkelliseksi muutosnopeudeksi pisteessä . Edellä oleva tarkastelu voidaan tehdä erikseen pisteen vasemmalta ja erikseen oikealta puolelta ja siten voidaan puhua vasemman- ja oikeanpuoleisista tangenteista. Mikäli kyseinen raja-arvo on , on tangentti pystysuora.