Jatkuvuus välillä

Funktion jatkuvuus väleillä määritellään pisteittäin. Funktio on jatkuva avoimella välillä, jos se on jatkuva jokaisessa välin pisteessä. Edelleen funktio on jatkuva suljetulla tai puoliavoimella välillä, jos se on jatkuva vastaavalla avoimella välillä ja (sisäpuolelta päin) toispuoleisesti jatkuva välin päätepisteissä. Funktio on kaikkialla jatkuva, jos se on jatkuva jokaisessa reaalilukupisteessä.

Esimerkki 2.3.7.

Esimerkin 2.3.1 mukaan funktio on jatkuva jokaisessa pisteessä , joten se on jatkuva koko reaalilukujoukossa (joka on rajoittamaton väli) eli se on kaikkialla jatkuva.

Esimerkki 2.3.8.

Esimerkin 2.3.3 mukaan neliöjuurifunktio on jatkuva pisteissä , joten se on jatkuva avoimella ja rajoittamattomalla välillä .

Funktio on samaisen esimerkin mukaan lisäksi oikealta jatkuva nollassa, joten kaiken kaikkiaan se on jatkuva koko määrittelyjoukossaan eli välillä .

Lauseiden 2.2.11, 2.2.15 ja 2.3.6 mukaan seuraavat lauseet pätevät.

Lause 2.3.9.

Jokainen rationaalifunktio on määrittelyjoukossaan jatkuva.

Lause 2.3.10.

Trigonometriset funktiot ovat määrittelyjoukoissaan jatkuvia.

Lause 2.3.11.

Jatkuvien funktioiden yhdistetyt funktiot ovat määrittelyjoukoissaan jatkuvia.

Edelleen lauseen 2.3.4 mukaan pätee seuraava.

Lause 2.3.12.

Jatkuvista funktioista yhdistetyin funktioin ja rationaalisin lausekkein muodostetut funktiot ovat määrittelyjoukoissaan jatkuvia.

Esimerkki 2.3.13.

Funktion

lausekkeessa funktiot ja ovat kaikkialla jatkuvia, joten myös niistä rationaalisesti muodostetut funktiot ja ovat kaikkialla jatkuvia. Funktio on jatkuva määrittelyjoukossaan (), ks. esimerkki 2.3.3. Koko funktio muodostuu edellä mainituista funktioista ja identtisestä funktiosta rationaalisena lausekkeena. Se on siten jatkuva niissä pisteissä, jossa se on määritelty. Määrittelyä rajaavat vain ehdot ja . Jälkimmäinen antaa ehdon , . Siten

.

Määrittelyjoukko muodostuu näin ollen perättäisistä avoimista väleistä, joista ensimmäinen on . Edellä todetun mukaan funktio on jatkuva tässä määrittelyjoukossaan.

Opiskeluvideo: R7: Funktion jatkuvuus

Jos funktio on määritelty ja jatkuva avoimella välillä, voidaan kysyä, olisiko sen määrittelyä laajennettavissa siten, että se tulisi jatkuvaksi suljetulla (tai edes puoliavoimella) välillä. Tämä onnistuu sellaisessa välin reunapisteessä, jossa funktiolla on äärellinen raja-arvo. Tällöin nimittäin voidaan funktion arvoksi siinä pisteessä määritellä kyseinen raja-arvo ja silloin funktio tulee (ainakin toispuoleisesti) jatkuvaksi siinä pisteessä.

Esimerkki 2.3.14.

Funktio on jatkuva määrittelyjoukossaan eli kun  . Voiko sen määritellä nollassa niin, että se tulisi myös siinä jatkuvaksi funktioksi? Vastausta varten selvitetään, onko funktiolla raja-arvoa nollassa. Koska

niin

ja siten myös

Asettamalla tulee funktiosta nollassa ja siten kaikkialla määritelty ja jatkuva.

Opiskelutehtävä 15. (Funktion jatkuvuus ja epäjatkuvuus)

Ovatko seuraavat väittämät tosia? Myönteisessä tapauksessa perustele se, kielteisessä tapauksessa anna kumoava esimerkki.

(a)  Jatkuvien funktioiden summafunktio on jatkuva.

(b)  Epäjatkuvien funktioiden summafunktio on epäjatkuva.

Vinkki tehtävään 15

Havainnollistus: Paloittain määritellystä funktiosta jatkuva