Rationaalisten lausekkeitten ja yhdistetyn kuvauksen jatkuvuus

Seuraava tulos osoittaa, että jossain pisteessä jatkuviksi tunnistetuista funktioista voidaan rationaalisin lausekkein muodostaa uusia jatkuvia funktioita.

Lause 2.3.4. (Rationaalisten lausekkeiden jatkuvuus)

Jos funktiot ja ovat jatkuvia pisteessä , ovat myös funktiot , , ja jatkuvia pisteessä . (Osamäärän kohdalla on oltava lisäksi .)

Todistus. Väitteet seuraavat lauseesta 2.2.8.

Toinen tulos seuraa suoraan raja-arvon määrittelystä.

Lause 2.3.5. (Merkin säilyvyys)

Jos funktio on jatkuva pisteessä ja (tai vastaavasti jos ), on olemassa pisteen sisältävä avoin väli, jossa funktio saa vain positiivisia (vast. negatiivisia) arvoja.

Todistus. Olkoon , jolloin jatkuvuuden perusteella

Valitaan , jolloin raja-arvon määrittelyn mukaan on olemassa sellainen , että

Silloin . Tämän mukaan välillä on , mikäli , ja , mikäli . Väite on todistettu.

Lause 2.3.6. (Yhdistetyn kuvauksen jatkuvuus)

Jos funktio on jatkuva pisteessä ja funktio on jatkuva pisteessä , on yhdistetty funktio jatkuva pisteessä .

Todistus. Pitää osoittaa, että jos

ja

niin

Olkoon todistusta varten . Funktion jatkuvuuden perusteella on olemassa sellainen , että

Funktion jatkuvuuden perusteella on toisaalta olemassa sellainen , että

.

Sijoittamalla edelliseen arvioon ja saadaan, että

.

Tämä todistaa väitteen.

Opiskelutehtävä 14. (Funktion jatkuvuus)

Määrää sellainen luku , että funktio

on kaikkialla jatkuva.

Vinkki tehtävään 14