Raja-arvon kuristaminen

Seuraava lause on usein kätevä raja-arvojen määräämisessä.

Lause 2.2.4. (Voileipälause eli kuristuslause)

Jos funktioille , ja pätevät jollain välillä epäyhtälöt ja jos

niin myös

Vastaava tulos pätee vp. raja-arvoille.

Todistus. Raja-arvojen olemassaolon mukaan annetulle on olemassa siten, että

ja aina, kun .

Silloin myös , mikä osoittaakin väitteen oikeaksi.

Edellä olevaa lausetta voidaan käyttää sellaisessa tilanteessa, jossa itse funktion lauseke on hankalasti käsiteltävä, mutta jossa sitä voidaan lähellä tarkastelupistettä arvioida sekä ylhäältä että alhaalta funktioilla, joiden lauseke on mahdollisesti helpompi käsitellä ja joiden raja-arvojen tiedetään olevan samat.

Esimerkki 2.2.5.

Määrätään raja-arvot

Huomaa, että lauseketta ei ole määritelty nollassa.

Tarkastellaan ensin op. raja-arvoa. Voimme olettaa sitä varten, että . Tarkastellaan kuvaa 28.

Kuva 28.

Yksikköympyrän sektorin OCB ala on

ja toisaalta kolmion OCD ala on

Koska näistä sektori on alaltaan pienempi kuin kolmio, saadaan epäyhtälö

eli

Toisaalta positiivisilla arvoilla on , joten . Yhdistämällä epäyhtälöt saadaan, että

Koska , kun (trigonometristen funktioiden rajakäyttäytyminen perustellaan tosin yleisemmin vasta lauseessa 2.2.15), niin kuristuslauseen mukaan myös , kun .

Vp. raja-arvo voidaan nyt päätellä edellä olevan avulla:

Toispuoleiset raja-arvot ovat siten samat.

Havainnollistus: Lausekkeen sin(x) / x raja-arvo nollassa