Toispuoleiset raja-arvot

Tarkastellaan pistettä ja oletetaan ensin, että funktio on määritelty jollain välillä , missä . Funktiolla on pisteessä oikeanpuoleinen (op.) raja-arvo , jos jokaista lukua kohti on olemassa sellainen luku , että

aina, kun .

Tässä tilanteessa merkitään, että

Kun raja-arvo on olemassa, se tarkoittaa, että mille tahansa funktion arvojen tarkkuudelle eli niiden erolle arvosta löytyy sellainen muuttujan tarkkuus , että funktion arvot tämän muuttujatarkkuuden jälkeen toteuttavat aina vaaditun tarkkuuden. Graafisesti tämä merkitsee sitä, että lähellä pistettä funktion kuvaaja on suorakaiteen

sisällä (ks. kuva 27).

Kuva 27.

Vastaavasti funktiolla , joka on määritelty jollain välillä , missä , on pisteessä vasemmanpuoleinen (vp.) raja-arvo , jos jokaista lukua kohti on olemassa sellainen luku , että

aina, kun .

Tässä tilanteessa merkitään, että

Huomaa, että kummassakaan määrittelyssä funktion arvoa pisteessä ei tarvita, joten funktion ei tarvitse olla määritelty siinä pisteessä, jossa raja-arvo halutaan määrätä. Riittää, että se on määritelty sillä puolella tätä pistettä, jolta raja-arvoa määrätään.

Havainnollistus: Raja-arvo-esimerkki

Esimerkki 2.2.2.

Funktiota ei ole määritelty nollassa, mutta kylläkin mielivaltaisen lähellä sitä, joten voimme katsoa, onko sillä (toispuoleisia) raja-arvoja siinä pisteessä. Nähdään, että , kun , ja , kun . Siten selvästi , kun , ja , kun . Toisin sanoen

Lause 2.2.3.

Jos funktiolla on jossain pisteessä op./vp. raja-arvo, se on yksikäsitteisesti määrätty.

Todistus. Oletetaan, että pisteessä funktiolla on kaksi eri op. raja-arvoa, toisin sanoen

missä . Valitaan raja-arvon määritelmässä , jolloin on olemassa sellainen luku , että

aina kun . Mutta silloin kolmioepäyhtälön mukaan olisi

mikä on ristiriita. Ei siis ole olemassa kahta eri op. raja-arvoa.

Samaan tapaan päätellään vp. raja-arvon yksikäsitteisyys.