Funktion raja-arvo

Jos funktiolla on jossain pisteessä sekä oikean- että vasemmanpuoleinen raja-arvo ja jos ne vielä ovat samat, sanotaan sitä pelkäksi raja-arvoksi tai tarvittaessa tarkemmin molemminpuoleiseksi (mp.) raja-arvoksi, merkitään

Huomaa, että funktion arvoa tarkastelupisteessä ei nytkään tarvita, joten funktion ei tarvitse olla määritelty siinä pisteessä, jossa raja-arvo halutaan määrätä. Riittää, että se on määritelty tämän pisteen kummallakin puolella.

Esimerkki 2.2.6.

Edellä olevan esimerkin 2.2.5 mukaan on

Esimerkki 2.2.7.

Tarkastellaan funktion raja-arvoja. Katsotaan ensin pistettä . On ilmeistä, että funktion raja-arvo tässä pisteessä on . Osoitetaan tämä arvaus oikeaksi. Koska

niin annetulle saadaan ehto toteutumaan, kun . Silloin nimittäin . Siten

Samaan tapaan voidaan osoittaa, että yleisesti

kun . Siten

Edelleen nähdään, että

(vp. raja-arvoa ei voi tutkia nollassa, koska funktiota ei ole määritelty negatiivisille luvuille).

Edellinen esimerkki osoittaa, että varsin yksinkertaisessakin tilanteessa raja-arvon osoittaminen ennakoidun suuruiseksi voi olla työlästä. Jatkossa pyrimmekin löytämään käyttökelpoisia päättelysääntöjä raja-arvojen määräämiseen.

Opiskelutehtävä 12. (Funktion raja-arvo)

Piirrä seuraavissa kohdissa jonkin sellaisen funktion , tai kuvaaja, joka toteuttaa annetut ehdot:

(a)  

(b)   ei ole määritelty pisteessä , sen oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä on ja vasemmanpuoleinen raja-arvo pisteessä on .

(c)  

Vinkki tehtävään 12