Napakoordinaattiesitys

Kompleksiluvut voidaan havainnollistaa ajattelemalla niitä kaksiulotteisen vektoriavaruuden eli tason alkioina. Silloin kompleksilukujen yhteenlasku on samanlainen kuin vektoreiden yhteenlasku (ajatellen, että koordinaatiston kantavektoreina ovat luvut 1 ja ).

Ajatellaan nyt, että tason pisteeseen siirrytään vaaka- ja pystysuuntien sijasta suunta ja etäisyys -periaatteella (ks. kuva 20).

Kuva 20.

Pisteen etäisyys origosta on ja kulma olkoon säteen ja reaaliakselin väliin jäävä kulma. Kompleksiluvun itseisarvo eli moduli on luku

ja sen argumentti on . Argumentille sovitaan yleensä, että . Se määräytyy ehdoista

Ehdoista ja , missä , saadaan esitys

.

Tätä esitystä sanotaan kompleksiluvun napakoordinaattiesitykseksi. Viimeistään tämän esityksen myötä kompleksiluvut ovat muuttuneet kuvitteellisista konkreeteiksi!

Esimerkki 1.7.2.

Minkä kompleksiluvun itseisarvo on 4 ja argumentti ? Vastauksena on luku

Esimerkki 1.7.3.

Kompleksiluvun moduli on . Ehdoista

nähdään, että sen argumentti on .

Argumentin voi päätellä myös pelkästä sinin tai kosinin arvosta, kunhan huomioi lisäksi sen, missä neljänneksessä kompleksiluvun on oltava. Tässä tapauksessa reaaliosa on negatiivinen ja imaginaariosa positiivinen, joten kompleksiluku sijaitsee toisessa neljänneksessä.

Seuraavien lauseiden 1.7.4−1.7.6 todistukset ovat suoraviivaisia laskuja ja ne jätetäänkin lukijalle harjoitustehtäviksi. (Ensimmäisen osalta ks. tehtävä 59.)

Lause 1.7.4.

Kompleksiluvuille ja pätevät seuraavat.

(a)  ,

(b)   (, jos summa on yli ),

(c)       (Kolmioepäyhtälö).

Soveltamalla induktiivisesti edellä olevaa tulosta kun saadaan seuraava tulos (ks. harjoitustehtävä 60).

Lause 1.7.5.

Napakoordinaattimuodossa esitetylle kompleksiluvulle on

   kaikille      (de Moivren kaava).

Jos napakoordinaattimuotoista kompleksilukua merkittäisiin vaikkapa , ilmaisisi lauseen 1.7.4 kaksi ensimmäistä kohtaa sen, että kompleksilukujen kertolaskusääntö olisi yksinkertaisesti . De Moivren kaava taas olisi muotoa .

Seuraavat muokkaussäännöt ovat suoraviivaisia todistaa laskemalla (ks. harjoitustehtävä 61).

Lause 1.7.6.

Kompleksiluvulle pätevät seuraavat.

(a)  ,

(b)  

Opiskelutehtävä 9. (Kompleksilukujen aritmetiikkaa)

Laske kompleksiluvuille ja kompleksiluvut , , , , ja sekä reaaliluvut , ja .

Vinkki tehtävään 9

Opiskelutehtävä 10. (Kompleksilukujen napakoordinaattiesitys)

Olkoon .

(a)  Määrää luvulle napakoordinaattiesitys.

(b)  Laske , , , .... Mitä huomaat?

(c)  Määrää niin, että .

Vinkki tehtävään 10

Havainnollistus: Kompleksilukujen laskutoimitukset