Harjoitustehtäviä

50.   Osoita, että kompleksiluvulle on

51.   Muodosta osamäärän reaali- ja imaginaariosat, kun ja .

52.   Kerro kompleksiluvulla muita kompleksilukuja (esimerkiksi , , , ja ) ja päättele, miten tämä kertominen muuntaa lukuja kompleksitasossa.

53.   Sama kuin edellinen tehtävä, mutta kertojana on nyt luku .

54.   Osoita, että ja , kun ja .

55.   Olkoon

reaalikertoiminen polynomi, jolla on kompleksinen juuri . Perustele, miksi myös liittoluku on sen juuri.

56.   Sievennä

(a) ,

(b)

(c)

(d)

(e)

57.   Onko yhtälöllä (a) , (b) kompleksilukuratkaisuja ?

58.   Laske kahdella eri tavalla (korottamalla potenssiin ja de Moivren kaavalla) ja päättele tuloksista sinin ja kosinin tuplakulmasäännöt.

59.   Osoita, että kompleksiluvuille ja pätevät seuraavat:

(a) ,

(b) (, jos summa on yli ).

60.   Oletetaan, että kompleksiluvulle on jollekin . Osoita, että vastaava kaava pätee myös potenssille . (Tämä todistaa oleellisesti de Moivren kaavan, ks. lause 1.7.5.)

61.   Osoita, että kompleksiluvulle pätevät seuraavat:

(a) ,

(b)

62.   Olkoon .

(a) Määrää luvun napakoordinaattiesitys.

(b) Laske , ja .

(c) Määrää kompleksiluku siten, että .

63.   Olkoon kompleksiluku, jonka moduli on yksi ja argumentti on .

(a) Osoita, että toteuttaa yhtälön .

(b) Osoita, että myös , , ..., toteuttavat kaikki yhtälön .

(c) Sijoita , , , ..., kompleksitasoon. Mitä huomaat?

64.   Ratkaise ns. Cardanon probleema: Kahden luvun summa on 10 ja tulo 40. Mitkä luvut ovat?

65.   Määrää vakio niin, että on yhtälön ratkaisu. Mitkä ovat tällöin muut ratkaisut? Määrää myös kompleksilukuratkaisut.

66.   Ratkaise yhtälöryhmä

.

67.   Esitä yhtälön ratkaisut napakoordinaattimuodossa.