[Etusivu] [Sisältö] [Luku I II III IV V VI] [Hakemisto]
[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]

Abstrakti määrittely

Reaalilukujen joukossa yhtälöllä ei ole ratkaisua. Olisiko olemassa sellaista lukujoukkoa, jossa ratkaisu löytyisi? Kuvitellaan, että sellainen joukko olisi olemassa, ja ajatellaan, että jokin kuvitteellinen (imaginaarinen) "luku" olisi yksi edellä olevan yhtälön ratkaisu. Halutaan edelleen, että samat yhteen- ja kertolaskuominaisuudet kuin reaaliluvuilla olisivat voimassa myös tässä kuvitellussa laajemmassa joukossa. Silloin siinä joukossa olisi oltava myös mm. kaikki muotoa olevat luvut, joissa ja ovat mitä tahansa reaalilukuja. Edelleen kaikki näiden summat, erotukset, tulot ja osamäärät. Muodostetaan kahden tällaisen luvun ja summa ja tulo. Oletamme siis, että "luvulla" voidaan laskea kuin reaalilukumuuttujalla yleensäkin. Silloin summalle saadaan

ja edelleen se huomioiden, että eli , saadaan tulolle vastaavasti

Tuloksena on, että sekä summa että tulo ovat edelleen saman muotoisia lausekkeita.

Edellä olevan johdattelun perusteella määrittelemme, että kompleksiluvut muodostuvat joukosta

jonka alkioiden ja yhteen- ja kertolasku määritellään säännöillä

Kompleksiluvulle on sen reaaliosa ja sen imaginaariosa. Lukua sanotaan imaginaariyksiköksi. Jos kompleksiluvun imaginaariosa on nolla, on se reaalinen luku. Jokainen reaaliluku on siis myös kompleksiluku: . Kompleksiluku on taas aito kompleksiluku, jos sen imaginaariosa ei ole nolla. Kompleksiluku on nolla vain, jos sekä reaaliosa että imaginaariosa ovat nollia, merkitään .

Edellä olevan mukaan kompleksilukujen summat ja tulot ovat edelleen kompleksilukuja. Seuraavan tuloksen mukaan myös kompleksilukujen vastaluvut ja käänteisluvut ovat edelleen kompleksilukuja. Sama pätee siten yleisemmin myös erotuksille ja osamäärille.

Lause 1.7.1.

Kompleksiluvun vastaluku ja käänteisluku ovat seuraavat:

, ja

Todistus. On osoitettava, että (a) ja (b) . Näistä kohta (a) on ilmeinen ja kohta (b) jätetään harjoitustehtäväksi (tehtävä 50).

Kompleksilukujen määrittelyn ja edellisen tuloksen jälkeen voidaan todeta yhteenvetona, että kompleksiluvuilla on samat yhteen- ja kertolaskuominaisuudet kuin rationaali- ja reaaliluvuilla (ks. Rationaali- ja reaalilukujen aksioomat). Kompleksiluvuille ei voi kuitenkaan määritellä mitään sellaista järjestystä (eikä siten positiivisuutta tai negatiivisuuttakaan), että niille olisivat voimassa samat järjestyssäännöt kuin reaaliluvuille.

Kompleksilukujen tasotulkintaan perustuu seuraavaa nimitys. Kompleksilukua sanotaan luvun liittoluvuksi eli konjugaatiksi (ks. kuva 20). Liittoluvun muodostamiselle pätee, että