Bijektio ja käänteiskuvaus

Jatketaan kuvausten perusasioitten kertaamista tarkastelemalla sellaisia kuvauksia, jotka kuvaavat kaikki alkiot eri alkioiksi.

• Funktio on injektio, jos se kuvaa kaikki alkiot eri alkioiksi ts. jos aina, kun . On sama asia vaatia, että ehdosta seuraa aina, että . Tätä muotoa on usein edullista käyttää silloin, kun funktio on määritelty lausekkeella. Kuvan 5 funktio ei ole injektio, sillä . Sen sijaan kuvan 6 mukainen funktio f' on injektio.

Kuva 6.

• Funktio on surjektio (eli epijektio), jos sen kuvajoukko on koko maalijoukko ts. jos jokaiselle löytyy sellainen , että . Kuvien 5 ja 6 funktiot eivät ole surjektioita, sillä edellisessä alkiolla 7 ja jälkimmäisessä alkiolla 6 ei ole alkukuvaa. Sen sijaan kuvan 7 funktio f'' on surjektio (mutta ei vuorostaan ole injektio).

Kuva 7.

• Funktio on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio eli jos jokaista vastaa täsmälleen yksi , jolle . Edellä olevien kuvien 5, 6 ja 7 funktioista mikään ei ole bijektio, sillä näistä ensimmäinen ei ole injektio eikä surjektio, toinen ei ole surjektio ja kolmas ei ole injektio. Kuvan 8 funktiot ja sen sijaan ovat bijektioita.

Opiskeluvideo: F5: Funktiot 5 − surjektio ja bijektio

• Identtinen kuvaus on kuvaus , jolle kaikilla .

• Kahden funktion ja yhdistetty kuvaus on se kuvaus , jolle kaikille (merkintä luetaan " pallo "). Yhdistetyssä kuvauksessa ensin muuttujaan sovellettava funktio on sisäfunktio ja sen jälkeen saatuun tulokseen sovellettava funktio on ulkofunktio. Yhdistetyn funktion määrittelyssä ei välttämättä funktion maalijoukon ja funktion määrittelyjoukon tarvitse olla sama joukko, vaan yleisemmin määriteltynä riittää, että ulkofunktio on määritelty sisäfunktion kuvapisteissä, ts. on riittävää, että .

Esimerkkinä kuvassa 8 on esitetty kaksi funktiota ja , joille voidaan muodostaa yhdistetty funktio .

Kuva 8.

Tälle yhdistetylle funktiolle on esimerkiksi . Tuloksena oleva yhdistetty kuvaus on esitetty kuvassa 9.

Kuva 9.

Opiskeluvideo: F6: Funktiot 6 − yhdistetty funktio

• Bijektion käänteiskuvaus on se kuvaus , jolle täsmälleen silloin, kun . Sama voidaan ilmaista vaatimalla, että kaikilla ja kaikilla . Nämä ehdot voidaan ilmoittaa myös ilman muuttujia muodossa ja .

Kuvan 8 funktiot ja ovat molemmat bijektioita ja niillä on kummallakin siten käänteisfunktio. Esimerkiksi funktion käänteisfunktiolle on ja funktion käänteisfunktiolle on .

Havainnollistus: Käänteisfunktion muodostaminen 1

Havainnollistus: Käänteisfunktion muodostaminen 2

Havainnollistus: Käänteisfunktion muodostaminen 3

Opiskeluvideo: F7: Funktiot 7 − käänteisfunktio

• Kahden bijektion ja yhdistetty kuvaus on myös bijektio, ja sillä on siten käänteisfunktio. Lisäksi tälle pätee sääntö .

Kuvan 8 funktiot ja ovat bijektioita ja siten myös niiden yhdistetty kuvaus, joka on esitetty kuvassa 9. Tälle esimerkiksi , mikä saadaan myös seuraavasti:

.