Lause 11.5.

Jos lineaarikuvaukseen liittyvä matriisi on symmetrinen, niin

(a)   eri ominaisarvoihin liittyvät ominaisvektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan ja

(b)   sen ominaisvektoreista voidaan muodostaa avaruuden ortonormaali kanta.

Todistus. (a) Olkoot ja , missä . Silloin

 

joten on oltava , koskapa .

(b) Tämän spektraalilauseen nimellä tunnetun tuloksen todistaminen vaatisi jonkun verran ponnisteluja ja mielellään vielä kompleksilukukertoimisten vektoriavaruuksien teoriaa avukseen. Siksi se sivuutetaan tässä ja viitataan taas vain Kahanpään ja Hannukaisen luentomonisteeseen (pykälät 6.7 ja 7.6).

 

Esimerkki 11.6.

Edellisen esimerkin 11.4 matriisi

 

on symmetrinen, ts. . Valitaan mainitun esimerkin tulosten mukaisesti vektori ominaisarvoon ja vektori ominaisarvoon liittyväksi ominaisvektoriksi. Silloin havaitaan, että , joten ne ovat todellakin kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Normitetaan ne vielä ykkösen pituisiksi, ts. valitaan

 

jolloin saadut ominaisvektorit ja muodostavat tason ortonormaalin kannan. Piirrä tilanteesta itsellesi havainnollistava kuva!

 

Esimerkki 11.7.

Tarkastellaan symmetristä matriisia

.

Määrätään ensin sen karakteristinen yhtälö:

 

Tässä ehdosta saadaan ratkaisu ja toisaalta yhtälön juuret ovat . Siten näistä karakteristisen yhtälön kaikista ratkaisuista saadaan koottua ominaisarvoiksi ja .

Määrätään seuraavaksi ominaisvektorit. Tehdään se ensin ominaisarvolle ratkaisemalla ominaisarvoyhtälö Gaussin ja Jordanin menetelmällä:

Valitsemalla tässä vuoronperään parametrit ja nolliksi ja ykkösiksi saadaan kaksi kohtisuoraa ominaisvektoria (kohtisuoruuden saavuttaminen oli olennaista). Normitetaan ne samalla ykkösen pituisiksi eli valitaan siis ensimmäiseen ominaisarvoon liittyviksi ominaisvektoreiksi vektorit

 

Määrätään toiseksi ominaisvektorit ominaisarvolle :

 

Valitaan tästä ratkaisusta ykkösen pituinen ominaisvektori

.

Saadut ominaisvektorit , ja muodostavat nyt todella ortonormaalin kannan.

 

Paitsi se, että symmetrisen matriisin ominaisvektoreista voidaan muodostaa ortonormaali kanta, vielä tärkeämpää on, että lineaarikuvausta vastaa siinä kannassa hyvin yksinkertainen matriisi.

Lause 11.8.

Oletetaan, että lineaarikuvaukseen liittyvä matriisi on symmetrinen ja olkoon sen ominaisvektoreista muodostettu ortonormaali kanta, jolloin siis vastaaville ominaisarvoille . Silloin kuvausta vastaa kannassa diagonaalimatriisi

.

Todistus. Muodostetaan matriisi niin, että ominaisvektorit sijoitetaan sen sarakkeiksi. Se on silloin lauseen 8.17 mukaan ortogonaalinen matriisi ja siten . Kannanvaihtolauseen 9.4 mukaan taas matriisi

 

vastaa lineaarikuvausta kannassa . Tämän matriisin ensimmäinen sarake on vektori

.

Vastaavasti laskettuna muille sarakkeille saadaan, että , mikä todistaakin väitteen. Sama tulos nähdään toki suoraankin siitä, että yhtälöiden mukaan myös yhtälöt pätevät.

 

Esimerkki 11.9.

Jatketaan edellistä esimerkkiä 11.7. Siinä saaduista matriisin ominaisvektoreista , ja muodostettu kannanvaihtomatriisi on nyt

 

ja teorian mukaisesti tiedetään siis laskemattakin (minkä voi tietenkin tarkistaa), että

.

Toisin sanoen, matriisia vastaavalle lineaarikuvaukselle ,

,

on , ja .

 

Huomaa esimerkin mukaisissa tilanteissa, että ominaisvektorit ja niitä vastaavat ominaisarvot on sijoitettava matriisien ja sarakkeille täsmälleen samassa järjestyksessä, jotta matriisitulo toteutuu.

Havainnollistus: Lineaarikuvauksen ominaisarvot ja ominaisvektorit