sanotaan
ortogonaaliseksi, jos se on kääntyvä ja 
eli jos 
tai 
.
Transpoosin avulla saadaan kuvattua nopeasti eräs geometrisesti tärkeä muunnostyyppi, nimittäin sellainen, joka muuntaa ortonormaalin kannan ortonormaaliksi kannaksi.
Ensinnä nimitys. Neliömatriisia sanotaan
ortogonaaliseksi, jos se on kääntyvä ja eli jos tai .
Seuraavaksi selvitetään yhteys geometriaan. Vektorin ja sarakematriisin samaistuksen jälkeen sisätulo voidaan ajatella myös matriisitulona, sillä vektoreille 
on
Tämän mukaisesti voidaan edelleen ajatella, että matriisitulossa 
sen alkiot ovat matriisien 
ja 
sarakevektoreiden sisätuloja. Sisätulon avulla taas saatiin laskettua vektoreiden pituudet ja niiden väliset kulmat kuten luvussa 5 selvitettiin.
Kun nyt ortogonaalisuuden ehto 
puretaan auki, se vaatii itse asiassa sen, että matriisin 
sarakevektoreiden eli sarakkeista muodostettujen avaruuden 
vektoreiden on sekä oltava kohtisuorassa toisiaan vastaan että ykkösen pituisia - eli lyhyemmin sanottuna niiden on muodostettava ortonormaali kanta. Tästä historiallisesti tuleekin ortogonaalisuus-nimitys, mutta on huomattava, että sarakevektoreilta vaaditaan kuitenkin enemmän kuin mitä pelkkään kohtisuoruuteen viittaava nimi antaisi olettaa. Kohtisuoruuden lisäksi niiden on oltava nimittäin yksikön pituisia.
Seuraava tulos on edellä tullut perusteltua.
Jos lineaarikuvaus kuvaa luonnollisen kannan ortonormaaliksi kannaksi, sitä vastaa ortogonaalinen matriisi. Kääntäen, jos lineaarikuvausta vastaava matriisi on ortogonaalinen, se muuntaa luonnollisen kannan ortonormaaliksi kannaksi.
Sellainen lineaarikuvaus, joka kuvaa, kuten yllä olevassa lauseessa, luonnollisen kannan ortonormaaliksi kannaksi, on itse asiassa bijektio, joka säilyttää kaikki vektorien väliset kulmat ja niiden pituudet. Tällaista kuvausta sanotaan myös isometriseksi lineaarikuvaukseksi tai (lineaariseksi) isometriaksi.
Tason peilausta vaaka-akselin suhteen vastaa matriisi
Siten 
osoittaen, että matriisi 
on ortogonaalinen. Tämä vastaa myös geometrista havaintoa siitä, että peilauksessa luonnollinen (ortonormaali) kanta kuvautuu ortonormaaliksi kannaksi ts. tässä muunnoksessa vektoreiden kohtisuoruudet ja niiden välisten kulmien suuruudet säilyvät.
Tason kiertoa kulman 
verran vastapäivään vastaa matriisi
Siten 
eli matriisi 
on ortogonaalinen. Nytkin tämä vastaa geometrista havaintoa siitä, että kierrossa luonnollinen kanta kuvautuu ortonormaaliksi kannaksi.
niin, että 
on ortogonaalinen matriisi. 
avulla? 
,
,
käänteiskuvaus.