Harjoitustehtäviä

112.   Muodosta funktioiden ja derivaatat määritelmän mukaisesti eli määräämällä erotusosamäärien raja-arvot.

113.   Määrää funktiolle derivaatta pisteissä (derivoimissäännöin) ja pisteessä (erotusosamäärällä). Piirrä funktion ja sen derivaatan kuvaajat.

114.   Todista (derivoinnin summakaava lauseesta 3.3.1), että

,

kun funktiot ja ovat derivoituvia pisteessä .

115.   Millä luvun arvoilla paraabelien ja tangentit origossa ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan?

116.   Millä luvun arvoilla käyrillä ja on jossakin pisteessä yhteinen vaakasuora tangentti?

117.   Muodosta funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on mahdollista. Piirrä funktion ja sen derivaatan kuvaajat.

118.   Määrää funktion

derivaatta pisteissä . (Vrt. tehtävä 106)

119.   Laske seuraavien funktioiden derivaatat

(a) ,

(b) ,

(c)

(d)

(e)

(f)

(g) ,

(h) ,

(i)

(j) ,

(k) ,

(l) .

120.   Reaalifunktion derivaatasta tiedetään, että . Määrää seuraavat raja-arvot:

(a)

(b)

(c)

(d)

121.   Määrää funktion , missä , käänteisfunktion derivaatta pisteessä 2 sekä eksplisiittisesti (ratkaisemalla ensin käänteisfunktio), että implisiittisesti (ratkaisematta käänteisfunktiota).

122.   Oletetaan tiedetyksi, että funktiolla on käänteisfunktio. Määrää käänteisfunktion derivaatta pisteessä . Mikä on tangentin yhtälö silloin? Piirrä tilanteesta kuva.