Rationaaliset laskusäännöt derivaatalle

Selvitetään ensin, millaisia sääntöjä voidaan löytää rationaalisten lausekkeiden derivaatoille, mikäli lausekkeen muodostavien osafunktioiden derivaatat tunnetaan. Erityisesti näitä sääntöjä voidaan sitten käyttää polynomien ja rationaalifunktioiden derivaattojen muodostamiseen.

Lause 3.3.1.

Olkoot funktiot ja derivoituvia pisteessä . Tällöin pätevät seuraavat:

(a)  ,

(b)  ,

(c)  

(d)  

Todistus. Kohta (a) on suoraviivainen todistaa erotusosamäärien avulla ja sivuutetaan tässä.

(b) Muodostetaan tuloon liittyvä erotusosamäärä ja selvitetään sen raja-arvo:

Yllä raja-arvon määräämisessä on käytetty funktioiden ja derivaatan olemassaoloa ja funktion jatkuvuutta pisteessä .

(c) Muodostetaan nyt funktioon liittyvä erotusosamäärä ja selvitetään sen raja-arvo:

(d) Edellisten kohtien perusteella on

Esimerkin 3.2.5 mukaan (kun ja ovat vakioita). Erikoisesti vakiofunktion derivaatta on nolla. Edellä olevan tulon derivoimissäännön mukaan on edelleen

,

kun on vakio. Tämä nähdään valitsemalla mainitussa säännössä .

Esimerkki 3.3.2.

Esimerkin 3.2.3 mukaan funktion derivaatta on . Siten esimerkiksi ja vastaavasti