Rationaalifunktion derivaatta

Käyttäen edellisen lauseen sääntöjä toistuvasti saadaan näistä edelleen johdettua seuraavat potenssi-, polynomi- ja rationaalifunktioiden derivoimissäännöt.

Lause 3.3.3.

Seuraavat derivoimissäännöt pätevät:

(a)  , kun , .

(b)  Polynomi

on kaikkialla derivoituva ja sen derivaatta on

.

(Tapauksessa , eli kun , on .)

(c)  Rationaalifunktiot ovat derivoituvia määrittelyjoukossaan ja niiden derivaatat ovat edelleen rationaalifunktioita. Derivaatta muodostetaan osamäärän derivoimissäännöllä ja polynomin derivoimissäännöin.

Todistus. (a)  Olkoon ensin . Funktiolle on silloin

joten

eli .

Tämä kohta voidaan todistaa myös induktiolla käyttäen tulon derivoimissääntöä apuna. Tehdään se myös niin. Kun , pätee kaava. Kun sitten oletetaan, että jollekin , niin

.

Siten sääntö pätee kaikille .

Olkoon sitten negatiivinen, jolloin , missä on positiivinen. Funktiolle on silloin edellä todistetun mukaan . Osamäärän derivoinnilla saadaan siten

(b)  Tulos seuraa summan derivoimissäännöstä ja edellisestä kohdasta.

(c)  Edellisen kohdan mukaan polynomien derivaatat ovat polynomeja, joten osamäärän derivoimissäännön mukaan rationaalifunktioiden derivaatat ovat edelleen rationaalifunktioita.

Esimerkki 3.3.4.

Funktion

derivaatta on kaikkialla olemassa, koska itse funktio on rationaalifunktio, joka on kaikkialla määritelty (sillä aina). Derivaatta saadaan laskettua osamäärän ja polynomin derivoimissäännöillä:

Esimerkki 3.3.5.

Funktio

on määritelty, kun , ja sen derivaatta on silloin

Havainnollistus: Funktiosta jatkuva ja derivoituva

Laskentapohja: Arvaa jatkuvuusvakiot

Opiskeluvideo: D3: Osamäärän derivaatta