Derivoituvuus välillä

Funktiolla voi olla derivaatta useissa pisteissä, kuten itseisarvofunktiolla esimerkissä 3.1.1. Sanotaankin, että funktio on derivoituva avoimella välillä , jos derivaatta on olemassa jokaisessa välin pisteessä . Välin pisteissä lasketuista derivaatoista muodostuu tällöin derivaatta eli tarkemmin derivaattafunktio . Derivaattafunktiosta käytetään mm. merkintöjä

Keskimmäistä muotoa käytetään erikoisesti silloin, kun halutaan korostaa sitä, minkä muuttujan suhteen derivoidaan (varsinkin, jos funktion lausekkeessa on muitakin muuttujia kuin ). Muoto on taas käyttökelpoinen erityisesti silloin, jos funktiota ei ole nimetty tai derivointi kohdistetaan funktiolausekkeeseen.

Esimerkki 3.2.4.

Esimerkistä 3.1.1 näkyy, että itseisarvofunktiolle on , kun , ja , kun . Nollassa derivaattaa ei ole.

Esimerkki 3.2.5.

Esimerkin 3.1.1 todistuksesta näkyy myös se, että kaikkialla. Erotusosamäärän avulla on helppo osoittaa, että yleisemmin kaikkialla (kun ja ovat vakioita). Erotusosamäärä on nimittäin vakio:

Esimerkki 3.2.6.

Esimerkin 3.1.1 mukaan itseisarvofunktio on derivoituva jokaisella sellaisella välillä, joka ei sisällä nollaa sisäpisteenään.

Huomaa erikoisesti, että tämän mukaan itseisarvofunktio on derivoituva sekä välillä että välillä , mutta ei kuitenkaan koko välillä .