Differentiaali ja tangenttiarvio

Differentiaalikehitelmän merkitys on siinä, että se antaa teoreettisen ja käytännöllisen keinon funktion arviointiin tarkastelupisteen lähistöllä. Differentiaalikehitelmässä esiintyvää termiä sanotaan funktion differentiaaliksi pisteessä . Kehitelmä ilmaisee siis sen, että derivoituvan funktion muutosta tarkastelupisteen lähellä voidaan, lauseke poisjättäen, arvioida derivaatan avulla eli tarkemmin sanottuna differentiaalilla. Koska pisteen kautta kulkevan suoran, jonka kulmakerroin on , yhtälö on muotoa

,

voidaan pisteessä derivoituvalle funktiolle siten pisteen lähistöllä käyttää ns. tangenttiarviota

.

eli kyseinen tangentti on funktion

kuvaaja. Katso kuva 35.

Kuva 35.

Tangenttiarvio on sitä parempi, mitä lähempänä pistettä tilannetta tarkastellaaan. Differentiaalikehitelmä ei kuitenkaan anna yleistä arviota tangenttiarvion tarkkuudesta eli virheen suuruudesta.

Esimerkki 3.2.3.

Esimerkin 3.2.2 mukaan funktiolla on pisteessä differentiaalikehitelmä

ja siten ja . Arvioidaan tangentin avulla arvoa , kun tiedetään, että :

Tarkka arvo kyseisessä pisteessä on 8,012006.

Kaikki edellä olevat tarkastelut voidaan tehdä myös toispuoleisesti, joko pisteen vasemmalla tai oikealla puolella. Tällaisessa tilanteessa differentiaalikehitelmä ja tangenttiarvio voivat olla siis voimassa vain toisella puolella tarkastelupistettä.