[Etusivu] [Sisältö] [Luku I II III IV V VI] [Hakemisto]
[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]

Epämääräiset raja-arvotilanteet

Varsinaisille raja-arvoille aikaisemmin esitettyjä rationaalisia laskusääntöjä voidaan käyttää epäoleellisille raja-arvoillekin silloin, kun vastaan tulevat laskutoimitukset ovat tehtävissä. Muista kuitenkin, että on vain symboli sille, että jokin kasvaa rajatta. Sillä ei siten saa laskea kuten luvulla. Vain sääntöjen

, , , ja

käyttö raja-arvojen yhteydessä on perusteltua. Erityisesti on huomattava, että lausekkeet

, , , ja

(sekä näistä äärettömän merkin vaihdolla saatavat) ovat kaikki epämääräisiä eli määrittelemättömiä. Näiden ilmentämät rajakäyttäytymiset voivat yleisesti merkitä mitä tahansa tai voi olla, että kyseistä raja-arvoa ei ole olemassakaan. Seuraavaa yksinkertaista päättelyä voi kuitenkin käyttää.

Lause 2.2.20.

Jos (oleellisille tai epäoleellisille raja-arvoille) ja , niin

(Tapaus on siis epämääräinen.)

Esimerkki 2.2.21.

Onko olemassa raja-arvoa

Tutkitaan ensin tilannetta, kun . Silloin

sillä (koska ) ja . Op. raja-arvo on siten ääretön.

Vastaavasti saadaan vp. raja-arvoksi . Molemminpuolista raja-arvoa ei siten ole olemassa.

Esimerkki 2.2.22.

Tarkastellaan polynomifunktion raja-arvoja äärettömyyksissä.

Kun kasvaa, kasvavat polynomissa potenssit rajatta ja kyseessä on siten epämääräinen tilanne . Se huomio, että , kun , saattaa joskus auttaa muuntamaan tilanteen "rationaalisemmin" pääteltäväksi. Kokeillaan sitä tässä jakamalla polynomi sopivalla muuttujan potenssilla.

Kun muokataan muotoon

nähdään, että siinä −termi lähestyy ääretöntä ja sulkulauseke lähestyy lukua 3. Siten lauseen 2.2.20 mukaan on

Vastaavasti nähdään, että

Esimerkki 2.2.23.

Onko olemassa raja-arvoja

Kun , niin

Sama tulos saadaan, kun . Kumpikin raja-arvo on siten 2.

Yleensäkin rationaalifunktion käyttäytymistä äärettömyyksissä kannattaa tutkia supistamalla lauseke korkeimmalla muuttujan potenssilla. Samaa ideaa voi kokeilla muihinkin lähellä rationaalifunktioita oleviin lausekkeisiin.

Esimerkki 2.2.24.

Tarkastellaan funktion