Epäoleelliset raja-arvot

Edellä olevissa raja-arvotarkasteluissa on tutkittu funktion käyttäytymistä annetun reaaliluvun lähellä ja selvitetty sitä, lähestyvätkö funktion arvot jotain reaalilukua. Laajennetaan nyt tarkastelua sallimalla joko muuttujan tai funktion arvojen kasvaa tai vähentyä rajatta jompaan kumpaan äärettömyyteen päin. Jos tällaisissa tilanteissa tapahtuu funktion arvojen suppenemista, puhutaan funktion epäoleellisista raja-arvoista. Seuraavassa tarkastellaan tarkemmin eri mahdollisuuksia.

Tarkastellaan ensin tilanteita, joissa funktion arvot kasvavat tai vähenevät rajatta tarkastelupisteen lähellä. Funktiolla on pisteessä op. (vp.) raja-arvo , jos jokaista lukua kohti on olemassa sellainen , että aina, kun (vast. ). Tilanteita merkitään

Näissä määrittelyissä funktiosta oletetaan, että se on määritelty tarkastelupisteen oikealla (vast. vasemmalla) puolella.

Funktiolla on pisteessä (molemminpuolinen) raja-arvo , jos sillä on siinä pisteessä sekä op. että vp. raja-arvo , merkitään

Yllä olevissa tilanteissa sanotaan myös, että funktio kasvaa rajatta, kun lähestytään pistettä (vasemmalta, oikealta tai molemminpuolin).

Vastaavasti määritellään, että funktiolla on pisteessä op. (vp.) raja-arvo , jos jokaista lukua kohti on olemassa sellainen , että aina, kun (vast. ). Funktiolla on pisteessä (molemminpuolinen) raja-arvo , jos sillä on sekä op. että vp. raja-arvo . Tilanteita merkitään

ja sanotaan, että funktio vähenee rajatta, kun lähestytään pistettä .

Toiseksi tarkastellaan tilanteita, joissa muuttujan arvoja kasvatetaan tai vähennetään rajatta. Funktiolla on raja-arvo äärettömyydessä, jos jokaista lukua kohti on olemassa sellainen raja , että aina, kun . Tilannetta merkitään

Tällaisessa tilanteessa sanotaan myös, että funktio lähestyy arvoa , kun kasvaa rajatta.

Vastaavasti funktiolla on raja-arvo miinus-äärettömyydessä, jos jokaista lukua kohti on olemassa sellainen raja , että aina, kun . Tilannetta merkitään

ja sanotaan, että funktio lähestyy arvoa , kun vähenee rajatta.

Kolmanneksi tarkastellaan tapauksia, joissa sekä funktion arvot että muuttujan arvot kasvavat tai vähenevät rajatta. Funktiolla on raja-arvoa äärettömyydessä, jos jokaista lukua kohti on olemassa sellainen raja , että aina, kun . Tilannetta merkitään

Vastaavasti määritellään raja-arvo äärettömyydessä sekä raja-arvot ja miinus-äärettömyydessä.

Kuten oleellisia raja-arvoja, epäoleellisiakin raja-arvoja voidaan selvittää jonojen avulla. Katso raja-arvon jonokarakterisointia lauseessa 2.2.16. Muuttujajonon tai arvojonon suppeneminen korvataan nyt toisen kasvamisella tai vähenemisellä rajatta.

Esimerkki 2.2.18.

Funktiolle on

Esimerkki 2.2.19.

Funktioilla ja ei ole raja-arvoja äärettömyydessä eikä miinus-äärettömyydessä.

Tangenttifunktiolle on

Opiskeluvideo: R2: Eripuoleiset (epäoleelliset) raja-arvot