[Etusivu] [Sisältö] [Luku I II III IV V VI] [Hakemisto]
[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]

Polynomifunktio

Polynomi tai tarkemmin polynomifunktio on mikä tahansa muotoa

oleva reaalifunktio, missä kertoimet ovat reaalilukuja. Sen aste on , kun .

Jos

on toinen polynomi, saadaan näiden summa laskemalla muuttujan samojen potenssien kertoimet yhteen. Vastaavasti erotus saadaan vähentämällä vastaavat kertoimet toisistaan. Edelleen polynomien ja tulo muodostetaan kertomalla lausekkeet osittelulain mukaisesti auki ja keräämällä muuttujan samojen potenssien kertoimet yhteen. Polynomien summat, erotukset ja tulot ovat kaikki edelleen polynomifunktioita.

Esimerkki 1.5.9.

Polynomeille ja on

Polynomifunktiolle on eli piste on sen nollakohta, jos ja vain jos on jaollinen polynomilla ts., jos

jollekin polynomille . Tämän varsin ilmeisen asian (matemaattista algebraa vaativa) todistus sivuutetaan tässä. Erityisesti kokonaislukukertoimisen polynomin

rationaalisia juuria voivat olla vain muotoa olevat luvut, missä on luvun ja luvun tekijä. Tämä todennetaan sijoittamalla murtoluku yhtälöön ja tarkastelemalla sitten jaollisuuksia.

Kun yksi tekijä on löydetty, voidaan toinen tekijä laskea seuraavan esimerkin mukaisesti jakokulman avulla. Yleisesti rationaalikertoimisen polynomin

rationaaliset juuret voivat olla muotoa , missä on luvun ja luvun tekijä.

Esimerkki 1.5.10.

Polynomin mahdolliset rationaaliset juuret ovat ja . Kokeilemalla on helppo todeta, että , joten sillä on tekijänä polynomi . Määrätään toinen tekijä jakokulmalla.

Siten . Tarkista tulos kertomalla saadut tekijäpolynomit.

Opiskeluvideo: F8: Polynomin jako tekijöihin jakokulmalla

Polynomien muokkauksia varten on hyödyllistä muistaa binomikaava eli summan neliön kaava

summan ja erotuksen tulosääntö

ja toisen asteen polynomin juurikaava

Toisen asteen polynomilla on siis reaalisia juuria vain, jos sen diskriminantti . Jos , on polynomilla kaksi eri juurta, ja jos , on sillä täsmälleen yksi juuri. Edellä oleva juurikaava voidaan johtaa "neliöimällä" yhtälön vasen puoli: