Potenssi- ja juurifunktio sekä rationaalipotenssit

Yleinen (kokonaislukupotenssinen) potenssifunktio määritellään seuraavasti. Reaaliluvulle asetetaan , ja yleisemmin induktiivisesti , kun on luonnollinen luku. Erityisesti sovitaan lisäksi, että . Kuvassa 15 on potenssifunktioiden kuvaajia, kun .

Kuva 15.

Luvuille asetetaan edelleen ja yleisemmin

kun on positiivinen kokonaisluku. Tällöin negatiiviset potenssit tulevat määriteltyä myös induktiivisesti: , kun ja . Merkinnässä luku on kantaluku ja luku on potenssi. Näin määritellyille kokonaislukupotensseille ovat seuraavat laskulait voimassa:

, ja ,

kun , ja ovat reaalilukuja (ja nollasta eroavia, mikäli jokin potenssi on negatiivinen) sekä ja ovat kokonaislukuja.

Potenssifunktion , missä , käänteiskuvaus on juurifunktio . Se määräytyy siis siitä, että ehto pätee täsmälleen silloin, kun . Jos potenssi on pariton kokonaisluku, on juurifunktio määritelty kaikille reaaliluvuille ja sen arvo on samanmerkkinen kuin luku , mutta jos on parillinen, on juurifunktio määritelty vain epänegatiivisille luvuille ja sen arvo on silloin epänegatiivinen. Merkinnässä luku on juurrettava ja luku on indeksi. Juurifunktiolle käytetään myös potenssimaista merkintää , kun . Kuvassa 16 ovat potenssifunktioiden ja kuvaajat.

Kuva 16.

Kun sovitaan lisäksi, että kokonaisluvuille ja , missä , on

,

on saatu määriteltyä yleiset rationaalipotenssit eli potenssit , missä on rationaaliluku. Näille rationaalipotensseille ovat laskulait

, ja ,

voimassa aina, kun , ja ovat positiivisia reaalilukuja sekä ja ovat rationaalilukuja. Sellaiset murtopotenssit , jotka ovat supistetussa muodossa ja joissa on pariton, voidaan määritellä myös negatiivisille luvuille , mutta näille edellä olevat laskulait eivät välttämättä ole enää voimassa. Esimerkiksi ja antavat eri tuloksen.

Irrationaalisille potensseille lauseke määritellään vasta myöhemmin eksponenttifunktioiden yhteydessä pykälässä Eksponenttifunktio.