Eksponenttifunktio

Kun yleisen eksponenttifunktion kantaluvuksi valitaan Neperin luku , saadaan (luonnollinen tai tavallinen) eksponenttifunktio . Se on määritelty kaikilla reaaliluvuilla ja sen arvo määräytyy siis lausekkeesta

.

Erityisesti ja . Eksponenttifunktiosta käytetään myös merkintää .

Eksponenttifunktiolla on seuraavat erityiset ominaisuudet.

Lause 6.1.2.

Eksponenttifunktiolle ovat seuraavat voimassa.

(a)  ,

(b)   aina ja , kun ,

(c)   on kaikkialla aidosti kasvava,

(d)   on kaikkialla jatkuva,

(e)  ,

(f)  

Todistus. (a) Väite on yleisen reaalilukupotenssin supremum-määrittelyn perusteella ilmeinen, mutta sen täsmällinen matemaattinen todistus sivuutetaan tässä.

(b) Koska luku on positiivinen, on kaikille rationaaliluvuille . Määritelmän mukaisesti on siten myös . Jos sitten , on jollekin positiiviselle kokonaisluvulle ja siten määrittelyn perusteella .

(c) Kun , on ja siten edellisen kohdan mukaan . Näin ollen

.

(d) Koska , kun , niin myös , kun . Tämän perusteella yleisemmin

, kun .

Funktio on siten kaikkialla jatkuva.

(e) (Tämän kohdan todistus on näistä kohdista pisin ja teknisin.) Määrätään ensin derivaatta nollassa eli erotusosamäärän raja-arvo

Kun , niin jollekin kokonaisluvulle . Toisaalta kaikille on

josta saadaan, että

Vastaavasti tiedosta

saadaan, että

Yhdistämällä kaikki edellä olevat arviot saadaan arvioketju

mistä saadaan edelleen arviot

Kun nyt , niin . Edellä olevassa arviossa laitimmaisten lausekkeiden raja-arvot ovat ykkösiä (kun ), joten kuristuslauseen mukaan

Vastaava vasemmanpuoleinen raja-arvo saadaan yhtä suureksi tekemällä edellä saatuun tulokseen merkin vaihto:

Funktion derivaatta nollassa on siten yksi.

Derivaatta muissa pisteissä saadaan tämän jälkeen siirtämällä yleisen erotusosamäärän tarkastelu edellä olevaan tilanteeseen seuraavasti.

Siten kaiken kaikkiaan .

(f) Kun , on jollekin kokonaisluvulle . Koska , kun (sillä ), niin myös , kun .

Jos sitten , on jollekin kokonaisluvulle ja siten

Tästä nähdään, että , kun .

Eksponenttifunktion kuvaaja on kuvassa 55.

Kuva 55. Eksponenttifunktion kuvaaja

Havainnollistus: Eksponenttifunktio

Esimerkki 6.1.3.

Määrätään lausekkeen derivaatta:

Esimerkki 6.1.4.

Osoitetaan, että eksponenttifunktion kuvaaja sivuaa suoraa ja on muulloin sen yläpuolella.

Yhtälöllä on ratkaisuna ainakin . Pitää siis osoittaa, että , kun . Funktiolle on . Lauseen 6.1.2 kohdan (b) mukaan on , kun . Siten on aidosti kasvava, kun . Näin ollen kun . Yhtälö toteutuu siis ainakin, kun .

Kun , on ja siten edellisen tarkastelun mukaan

Funktio on näin ollen aidosti vähenevä, kun . Siten kun . Yhtälö toteutuu täten myös, kun .

Tuloksena on siten, että suora on eksponenttifunktion tangentti pisteessä ja funktion kuvaaja on muuten tämän suoran yläpuolella.

Seuraavassa pykälässä logaritmifunktion yhteydessä määrätään yleisen eksponenttifunktion derivaatta (ks. Yleinen eksponenttifunktio ja logaritmifunktio).

Tavallisen eksponenttifunktion tekee "luonnolliseksi" se, että sen derivaattafunktio on täsmälleen se itse. Erityisesti tämän mukaan kasvaa "kiihtyvällä nopeudella", ts. se kasvaa sitä nopeammin, mitä suurempi sen arvo jo on.