Yleinen eksponenttifunktio ja logaritmifunktio

Koska jokaiselle positiiviselle luvulle on , voidaan tämän avulla yleinen eksponenttifunktio muuntaa tavalliseksi eksponenttifunktioksi seuraavasti:

.

Tästä näkyy edelleen, että yleisen eksponenttifunktion derivaatta on

.

Sääntö mahdollistaa myös yleisen potenssifunktion määrittelyn seuraavasti:

, kun ja .

Sen derivaatta on silloin

Näin ollen derivoimissääntö pätee kaikille reaalilukupotensseille, kun .

Yleinen logaritmifunktio on yleisen eksponenttifunktion , , käänteisfunktio. Koska , saadaan sille lauseke

Tästä saadaan edelleen sen derivaataksi

On huomattava, että yleiset eksponentti- ja logaritmifunktiot voidaan siten lausua tavallisten eksponentti- ja logaritmifunktioiden avulla.

Kantaluvulle 10 logaritmifunktion arvoa sanotaan myös Briggsin logaritmiksi ja siitä käytetään merkintää .

Tähän mennessä on käsitelty potenssilaskennan avulla muodostettuja funktioita, joissa joko kantaluku on muuttuva (potenssifunktiossa) tai potenssi on muuttuva (eksponenttifunktiossa). Mutta yleisemmin myös sellaiset potenssilausekkeet, joissa sekä kantaluku että potenssi ovat yhtaikaa muuttuvia, voidaan nyt määritellä eksponenttifunktion ja logaritmifunktion avulla seuraavasti.

Funktioille ja , missä , asetetaan

.

Siten esimerkiksi .

Opiskelutehtävä 36. (Yleinen eksponenttifunktio)

Tutki funktion kulkua, kun .

Vinkki tehtävään 36