Irrationaaliluku

Sen lisäksi, että luku on erään polynomin juuri, sillä on eräs toinen ominaisuus, jota voidaan käyttää lukukäsitteen laajentamiseen. Se jakaa nimittäin rationaaliluvut kahtia sitä pienempiin lukuihin ja sitä isompiin lukuihin . On tietenkin olemassa paljon muitakin mahdollisuuksia jakaa rationaaliluvut sillä tavalla kahteen osajoukkoon ja , että osajoukon luvut ovat kaikkia osajoukon lukuja pienempiä, ts. kaikilla ja . Tällaisia rationaalilukujen jakoja sanotaan Dedekindin leikkauksiksi ja niiden avulla saadaankin muodostettua eräs malli reaaliluvuille. Esimerkiksi jako, jossa

ja ,

vastaa lukua , sillä luku on joukkojen ja "välissä". Vaatii kuitenkin isohkon työn selvittää, miten näillä "leikkauksilla" tulee operoida, jotta ne toimisivat samoin laskuominaisuuksin kuin rationaaliluvut. Tämän asian käsittely sivuutetaan tässä.

Jokainen rationaaliluku jakaa itse kaikkien rationaalilukujen joukon kahtia: ensimmäisen joukon muodostavat se ja sitä pienemmät luvut ja toisen sitä suuremmat luvut. Se määrää siten Dedekindin leikkauksen ja se voidaan siten käsittää erääksi reaaliluvuksi. Muita reaalilukuja kuin rationaalilukuja sanotaan irrationaaliluvuiksi. Esimerkin 1.3.1 mukaan luku on irrationaalinen. Kaikista luvuista, kuten mm. luvuista ja , ei tiedetä, ovatko ne rationaalisia vai irrationaalisia.

Edeltä näkyy, että rationaalilukujen laajentaminen reaaliluvuiksi ei ole enää puhtaasti "algebrallinen" toimitus, vaan voi sanoa, että laajentaminen tapahtuu pikemminkin rationaalilukujen järjestysominaisuutta ja etäisyyskäsitettä hyödyntäen. Laajentamista voisi sanoa metriseksi täydentämiseksi (tai topologiseksi, kuten sitä yleisemmän teorian mukaan nimitetään).

Yhteenvetona todetaan, että edellä käsitellyille reaalilukujen osajoukoille pätevät aidot sisältyvyydet , missä tarkoittaa algebrallisia lukuja (ks. kuva 2). Joukko muodostuu kaikista irrationaalisista luvuista ja joukko koostuu vastaavasti kaikista transkendenttisista luvuista.

Kuva 2.