Rationaaliluku

Erilaisten yhtälöiden ratkaisutarve on johtanut lukualueiden laajentamisiin. Esimerkiksi yhtälöllä ei ole ratkaisua luonnollisten lukujen joukossa. Tämä ongelma poistuu ottamalla käyttöön negatiiviset kokonaisluvut ja sitä myötä kaikkien kokonaislukujen joukko . Tämän jälkeen ratkeavat kaikki muotoa yhtälöt, missä ja ovat mitä tahansa luonnollisia lukuja. Vastaavasti yhtälö ja yleisesti kaikki kokonaislukuyhtälöt () ratkeavat rationaalilukujen eli murtolukujen joukossa

Rationaaliluvut ja (missä ja ) ovat samat, jos . Rationaaliluvuilla on sellainen tärkeä ominaisuus, että sen alkioiden summat, erotukset, tulot ja osamäärät ovat edelleen rationaalilukuja. Tämän osoittavat laskusäännöt

On kuitenkin yksinkertaisia yhtälöitä, jotka eivät ratkea rationaalilukujenkaan joukossa. Sellaisia ovat esimerkiksi ja . Edellisen yhtälön kohdalta väite todennetaan seuraavassa esimerkissä ja jälkimmäistä yhtälöä tarkastellaan kompleksilukujen yhteydessä pykälässä Kompleksiluvuista.

Esimerkki 1.3.1.

Osoitetaan, että yhtälöllä ei ole rationaalilukuratkaisua. Oletetaan päinvastoin kuin väitetään, että tällä yhtälöllä on rationaalinen ratkaisu , missä voimme olettaa, että murtoluku on supistetussa muodossa eli osoittajalla ja nimittäjällä ei ole ykköstä isompaa kokonaislukua yhteisenä tekijänään. Käytämme jatkossa sitä tietoa, että parillisten kokonaislukujen neliöt ovat parillisia ja parittomien kokonaislukujen neliöt ovat vastaavasti parittomia. Jos nimittäin luku on parillinen, se on muotoa , jolloin yhtälöstä nähdään, että myös on parillinen luku. Jos taas luku on pariton, se on muotoa , jolloin yhtälöstä

nähdään, että myös on pariton.

Vastaväitteen mukaisesti oletetaan, että luvulle on . Siten . Tämä osoittaa, että on parillinen luku. Silloin myös luvun on oltava parillinen, sillä parittomien lukujen neliöt olisivat parittomia kuten edellä todettiin.

Luku on parillisena muotoa , jolloin yhtälöstä nähdään, että myös luku on parillinen. Siten edellä olevan mukaan myös on parillinen.

Mutta nyt sekä että olisivat parillisia ja murtoluku voitaisiin supistaa kakkosella, mikä on vastoin lähtötilannetta. Yhtälöllä ei näin ollen voi olla rationaalilukuratkaisua.

Edellä oleva esimerkki antaa hyvän mallin ns. antiteesi- eli vastaväitetodistukselle. Siinä todistettavalle väitteelle päinvastaisesti oletetaan antiteesinä, että sen vastaväite on voimassa, ja yritetään sen jälkeen osoittaa ristiriita oletuksen tai jonkun muun tiedetyn tosiasian kanssa. Esimerkissä 1.3.1 väitteelle, että yhtälöllä ei ole rationaalilukuratkaisua, muodostettiin vastaväite, jonka mukaan tällainen ratkaisu olisikin olemassa. Tehtyjen päättelyjen jälkeen todettiin ristiriitana, että tällainen ratkaisu ei voisi olla supistettua muotoa vaikka näin oletettaisiin. Loppupäätelmänä on, että antiteesi eli vastaväite ei voi pitää paikkansa vaan alkuperäinen väite on voimassa.