Tehtävä 5.3. a) Kuinka monta sellaista permutaatiota, jotka kuvaavat alkion 1 itselleen, on ryhmässä ? Entä sellaista, jotka kuvaavat joko alkiot 1 ja 2 molemmat itselleen tai molemmat toisikseen?

b) Yleistyksenä ilmoita edelleen, kuinka monta sellaista permutaatiota, jotka kuvaavat ensimmäistä alkiota kaikki itselleen, on ryhmässä ? Entä sellaista, jotka kuvaavat ne joko itselleen tai toisikseen?

Ratkaisu

a) Tehtävä voidaan selvittää joko kirjoittamalla auki permutaatioiden kaksirivisiä muotoja ja miettimällä mitä termejä toisella rivillä voi missäkin kohdassa olla tai käyttämällä suoraan kertomamerkintöjä, mikäli tämä tuntuu tutulta.

i) Sellaiselle permutaatiolle, joka kuvaa alkion 1 itselleen täytyy päteä

Näin ollen kuvauksen ensimmäinen kuvautuminen (ensimmäinen tulos) voidaan valita vain yhdellä tavalla. Toinen termi voidaan valita neljän jäljellä olevan alkion joukosta eli joukosta . Sen jälkeen paikkaan voidaan valita alkio kolmella tavalla. Näin jatkamalla havaitaan, että erilaisia vaihtoehtoja on . Siten erilaisia permutaatioita, joissa ykkönen kuvautuu itselleen, on ryhmässä olemassa 24 erilaista.

Huomautus. P ositiivisen kokonaisluvun n− kertoma on .

ii) Tarkastellaan sitten sellaisia permutaatioita, jotka kuvaavat joko alkiot 1 ja 2 molemmat itselleen tai molemmat toisikseen.

Ratkaisutapa I. Nyt joko sekä ykkönen että kakkonen kuvautuvat itselleen tai toisilleen. Näin ollen permutaatio voi olla kahta muotoa:

Tilanteet ovat identtisiä vaihtoehtojen määrän suhteen. Koska sekä vasemman, että oikeanpuoleinen voidaan muodostaa tavalla edellisen kohdan perustelun nojalla, on ehtojen mukaisia permutaatioita kappaletta.

Ratkaisutapa II. Koska alkiot 1 ja 2 kuvautuvat joko itselleen tai toisilleen, on vaihtoehtoja niiden järjestykselle kpl. Jälkimmäisten kolmen järjestysmahdollisuuksia on kpl. Yhteensä vaihtoehtoja siis .

b) Pyritään nyt yleistämään a) -kohdan ensimmäisen alakohdan tilanne ryhmään .

i) Koska oletuksen mukaan k ensimmäistä alkiota kuvautuvat itselleen, ei valinnan varaa näiden osalta permutaatiota muodostettaessa ole ja k :lle ensimmäiselle termille vaihtoehtoja on tasan yksi kullekin. Alkion kuvautuminen voidaan valita tavalla, alkion kuvautuminen voidaan valita tavalla, jne. Näin ollen erilaisia, ehdot täyttäviä permutaatioita on kappaletta.

ii) Yleistämällä a) -kohdan toisen alakohdan ii) tilanne nähdään, että ensimmäisien k :n alkion kuvautumiset voidaan valita tavalla ja loppujen alkioiden kuvautuminen sen jälkeen tavalla. Erilaisia annetut ehdot täyttäviä permutaatioita on siten kappaletta.

Esimerkki. Havainnollistetaan edellistä kohtaa konkreetin esimerkin kautta. Valitaan ja , jolloin saadaan seuraavat permutaatiomahdollisuudet:

Saatiin siis 6 erilaista vaihtoehtoa sille, miten kolme itselleen tai toisilleen kuvautuvaa alkiota voivat kuvauksessa kuvautua. Kussakin tapauksessa muuttujien ja paikalle voidaan alkiot valita kahdella tavalla. Näin vaihtoehtoja tulee kaikkiaan . Tämä on yhtäpitävää aiemman kaavan kanssa tapauksessa ja , sillä .

[Opiskelutehtäviä 5]