Tehtävä 4.6. Määrää kaikki ne renkaan alkiot, joilla on käänteisalkio, ja ilmoita kunkin käänteisalkio.

Ratkaisu

Kääntyviä alkioita voi etsiä joko kokeilemalla tai hyödyntämällä kurssikirjan s. 41 Lauseen 4.1. antamaa tietoa, jonka mukaan renkaan alkiolla a on käänteisalkio täsmälleen silloin, kun luvut a ja n ovat keskenään jaottomat eli . Hyödynnetään ko. lausetta. Koska ja , kun , niin renkaan kääntyvät alkiot ovat 1, 5, 7 ja 11.

Ratkaisutapa I. Modulin12 ollessa pieni voidaan alkioiden 1, 5, 7 ja 11 käänteisalkiot etsiä yksinkertaisesti kokeilemalla. Kullekin alkiolle a täytyy löytää joku renkaan alkio b siten, että tulo ab on 1 renkaassa . Alkio b on silloin alkion a käänteisalkio. Alkio 1 on aina oma käänteisalkionsa, sillä . Etsitään loput käänteisalkiot:

Kääntyvän alkion käänteisalkio on myös kääntyvä. Siis kääntyville alkioille pätee, että niiden käänteisalkiot kuuluvat joukkoon .

Luvun 5 käänteisalkio: Ensinnäkin , joten alkio 1 ei ole alkion 5 käänteisalkio. Kokeilemalla seuraavalla mahdollisella alkiolla eli viitosella huomataan, että . Tämän mukaan , joten myös alkio 5 on itse oma käänteisalkionsa.

Samaan tapaan jatkamalla havaitaan, että myös alkiot 7 ja 11 ovat omia käänteisalkioitaan: ja . Näin on, sillä ja .

Huomautus. Renkaissa käytetään termin luku sijasta termiä alkio.

Ratkaisutapa II. Jos kokeileminen ei syystä tai toisesta onnistu, voidaan kääntyvän alkion a käänteisalkio lauseen 4.1. avulla etsiä suurimman yhteisen tekijän monikertasummaesityksen avulla. Tehdään näin alkioille 5 ja 7.

i) Luvulle on . Eukleideen algoritmilla saadaan

Paluualgoritmia käyttämällä saadaan suurin yhteinen tekijä 1 esitettyä lukujen 12 ja 5 monikertasummana:

.

Näin ollen alkion käänteisalkio on .

ii) Luvulle on ja

joten paluualgoritmia käyttämällä saadaan syt esitettyä lukujen 12 ja 7 monikertasummana:

Tämän mukaan −5 on alkion 7 käänteisalkio. Koska , tulee valita jokin toinen edustaja käänteisalkiota vastaavasta ekvivalenssiluokasta (ks. kurssikirjan s. 35). Koska , valitaan edustajaksi luku 7. Täten siis alkio 7 on itsensä käänteisalkio.

Huomautus. Joskus tämä paluualgoritmista saatava kerroin voi olla negatiivinen, kuten edellä alkion 7 käänteisalkiota etsittäessä käy. Tämä ei kuitenkaan haittaa, sillä kyseiset ratkaisut kuuluvat kuitenkin samaan jäännösluokkaan (ekvivalenssiluokkaan, ks. kurssikirjan s. 35) ja näin käänteisalkioksi voidaan valita mikä tahansa edustaja kyseisestä jäännösluokasta.

Tässä tehtävässä kukin kääntyvä alkio on oma käänteisalkionsa. Huomaa, että tämä on sattuma eikä näin suinkaan käy aina.

Kääntyvät alkiot ja niiden käänteisalkiot kuvana:

Lisätietoja. Käänteisalkioita tarvitsee itseasiassa etsiä vain renkaan puolikkaasta, sillä toinen puoli menee symmetrian mukaan käyttämällä merkin vaihtoa apuna. Esimerkiksi edellä ja , joten ja .

[Opiskelutehtäviä 4]